انتگرال
در این مقاله در مورد دو نوع انتگرال گیری، انتگرال معین و نامعین صحبت می کنیم.
انتگرال معین
فرض کنیم تابع f در تمام نقاط بازه ی [a,b] پیوسته باشد(به جز احتمالا در دو سر بازه یعنی a و b ) در این صورت،مساحت ناحیه ی محصور بین نمودار y=f(x) ، محور x ها و خطوط x=a و x=b را برابر انتگرال تابع f در بازه [a,b] می نامند و با نماد زیر نشان می دهند:
که dx به این معناست که x متغیر است.
نکته: مقدار مساحت محاسبه شده مثبت است اما مقدار انتگرال معین می تواند مثبت یا منفی باشد. اگر نمودار بالای محور xها باشد(f(x)>0)، مقدار انتگرال معین مثبت و اگر نمودار پایین محور xها باشد (f(x)<0) مقدار انتگرال معین، منفی می باشد. مانند مثال زیر
پاسخ:
تذکر: همیشه محاسبه مساحت ها به این راحتی نیست .مثلا محاسبه مساحت منحنی فرمول خاصی ارائه نشده است اینجاست که باید از روشی به نام انتگرال ریمان استفاده کنیم که در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. البته ما در این مقاله به این روش نمی پردازیم.
تذکر: در حالت کلی روش محاسبه انتگرال از طریق مساحت، کار طولانی و پیچده ای است ، که در این رابطه روشی دیگر موجود است و در بخش بعدی به توضیح آن می پردازیم.
به انتگرال نامعین ضد مشتق نیز گفته میشود، زیرا عمل انتگرال نامعین گرفتن دقیقاً برعکس عملیات مشتقگیری است.تابع اولیه عکس مشتق گیری است. برای محاسبه ی تابع اولیه ی تابعی مانند f کافی است تابعی مانند g بیابیم به طوری که: g'(x)=f
تابع اولیه ی f را به صورت
نشان می دهند و به آن انتگرال نامعین می گویند(یعنی بدون بازه و محدوده)
با فرض آن که F(x) تابع اولیه ی تابع پیوسته ی f باشد ((F'(x)=f(x) داریم:
دقت شود در فرمول های فوقdu=u' dx می باشد.
نکته:
تذکر: در حالت کلی روش محاسبه انتگرال از طریق مساحت، کار طولانی و پیچده ای است ، که در این رابطه روشی دیگر موجود است و در بخش بعدی به توضیح آن می پردازیم.
انتگرال نامعین یا پاد مشتق
برای محاسبه ی تابع اولیه ی تابعی مانند f کافی است تابعی مانند g بیابیم به طوری که: g'(x)=f
تابع اولیه ی f را به صورت
نشان می دهند و به آن انتگرال نامعین می گویند(یعنی بدون بازه و محدوده) با فرض آن که F(x) تابع اولیه ی تابع پیوسته ی f باشد ((F'(x)=f(x) داریم:
فرمول فوق، بیانگر تمام توابع اولیه است که با اضافه کردن عدد ثابت c به تابع اولیه ی F(x) به دست می آید.
فرمول های مشتق گیری
با توجه به خاصیت پاد مشتق بودن انتگرال برای راحتی جهت انتگرال گیری فرمول های زیر تهیه شده است.
فرمول های مشتق گیری
با توجه به خاصیت پاد مشتق بودن انتگرال برای راحتی جهت انتگرال گیری فرمول های زیر تهیه شده است.
دقت شود در فرمول های فوقdu=u' dx می باشد.نکته:
مثال: مشتق توابع زیر را به کمک فرمول های فوق محاسبه کنید:
اولین قضیه اساسی حساب
فرض کنیدf تابعی پیوسته بر بازه [a.b] باشد و برای هرx در این بازه داشته باشیم:
دومین قضیه اساسی حساب
اگر تابع f در تمام بازه پیوسته باشدو F تابع اولیه آن باشد در آن صورت:
اولین قضیه اساسی حساب
فرض کنیدf تابعی پیوسته بر بازه [a.b] باشد و برای هرx در این بازه داشته باشیم:
دومین قضیه اساسی حساب
اگر تابع f در تمام بازه پیوسته باشدو F تابع اولیه آن باشد در آن صورت:
به عبارت دیگر در مواردی که محاسبه مساحت زیر سطح نمودار برای انتگرال معین، دشوار باشد از این روش که توسط فرمول های مشتق فوق می باشد، استفاده می کنیم.
مثال:مشتق توابع زیر را در بازه های مشخص بیابید:
مثال:مشتق توابع زیر را در بازه های مشخص بیابید:
تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان
