پرسش

lim((((1+x^1/2)^1/2) +x)^1/n -(((1+x^1/2)^1/2) -x)^1/n )/x
x--0

پاسخ

می توان از هم ارزی برنولی برای حل آن استفاده كرد اما راه حل هم ارزی اصولا راه ریاضی دقیقی نیست.
اولا هر كدام از پرانتز ها به حد یك میل می كند وقتی X به سمت صفر میل كند .پرانتز اول را برابر a و پرانتز دوم را برابر b بگیرید داریم:
a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2 b+…+b^n-1)
نكته مهم آنست كه وقتی x به صفر میل كند a,b به یك میل می كند پس پرانتز بزرگتر به n میل می كند. پس وقتی به صفر میل كنیم داریم یك طرف می شود
N(a-b) و یك طرف می شود تفاضل توانهای n آنها كه می شود 2x پس در نهایت صورت كسر یعنی a-b برابر می گردد با 2x/n كه وقتی به صفر میل كند با مخرج ساده می گردد و حد برابر 2 بخش بر n می شود.