پرسش

سلام
سوال بنده یك ثابت كنید است:
ثابت كنید تابع دیریكله در هیچ نقطه حقیقی حد ندارد؟
با تشكر

پاسخ

سلام
تابع دیریكله در حقیقت برای اعداد گویا یك مقدار معمولا 1 و در اعداد گنگ مقداری متفاوت معمولا 0 است.
ابتدا لم زیر را در نظر بگیرید:
لم:به هر نقطه می توان توسط دنباله ای از اعداد گویا و دنباله ای از اعداد گنگ میل كرد.
برای اعداد گویا مثل x دنباله x+ 1/n از طزیق اعداد گویا به x میل می كند و دنباله
x+(2^1/2)/n از طزیق اعداد گنگ به x میل میكند.برای عدد گنگ x نیز دنباله x+1/n از طریق اعداد گنگ به x میل می كند.
تنها باید بررسی كرد كه آیا می شود از طریق اعداد گویا به یك عدد گنگ میل كرد یا نه.برای یك عدد گنگ مثلا فرض كنید به فرم اعشاری روبرو باشد:
a.bcdef... oo
یعنی تا بی نهایت این اعداد بدون نظم خاصی ادامه دارند.پس دنباله زیر از اعداد گویا به آن میل خواهد كرد.
a,a.b,a.bc,a.bcd,.... oo
پس نتیجه شد كه به هر عدد می توان با دنباله ای از اعداد گویا و گنگ میل كرد.
اگر روی دنباله ای از اعداد گویا به سمت عدد ی حركت كنیم مقدار تابع 1 است و
حد آن تابع در نقطه مفروض 1 می شود در حالیكه روی دنباله ای از اعداد گنگ این
حد 0 به دست می آید .در حالیكه اگر تابعی حد داشته باشد روی هر دنباله ای كه به آن میل كنیم حد آن می بایست یكی باشد پس این تابع حد ندارد.