پرسش

آیا عبارت زیر صحیح می باشد؟
هر دنباله صعودی و از بالا كراندار همگرا به كوچكترین كران بالا است و
هر دنباله نزولی و از پایین كراندار همگرا به بزرگترین كران پایین است

پاسخ

با سلام
فرض كنید دنباله an صعودی با كوچكترین كران بالای L باشد. ثابت می كنیم L حد دنباله است.یعنی برای هر ε وجود دارد M عضو اعداد طبیعی به طوری كه :
o n>M ==> |an-L|<ε
یعنی L-εحال چون L كمترین كران بالا است برای هر ε عضوی از دنباله مانند aN وجود دارد كه
aN>L-ε در غیر اینصورت L-ε نیز یك كران بالای كوچكتر از L برای دنباله می شد كه خلاف كوچكترین كران بالا بودن L بود. حال چون دنباله صعودی است پس برای هر
n>N an>L-ε پس با گرفتن M=N ذنباله به L همگرا می شود.