پرسش

دیفرانسیل(بخش سری ها)
راه كوتاه ومناسبی برای تجزیهی كسر ها ارایه دهید

پاسخ

ابتدا راه حل كلی تجزیه كسرهای گویا را ذكر می كنیم كه مخرج آن ریشه های حقیقی داشته باشد.(برای ریشه های غیر حقیقی(مختلط) راه حل مشابه وجود دارد كه البته در مسایل دبیرستانی به آن بر نمی خوریم اما اگر علاقه مندید حتما بعدا ذكر كنید.)
حال فرض كنید كسر گویا به فرم P(x) /Q(x)o باشد كه درجه صورت از مخرج كمتر باشد.(همیشه می توان با تقسیم چند جمله ای ها چنین حالتی را برقرار كرد.)
Q(x) =A(x-a1)^n1*(x-a2)^n2*....(x-am)^nm
چند جمله ای فوق به صورت زیر قابل تجزیه است:
Q(x)^ -1=A11/x-a1+A12/(x-a1)^2+....+A1n/(x-a1)^n+....o
حال Aij ها را به دست می آوریم .از فرمول های زیر:
A1n=lim Q(x)*(x-a1)^n x-->a1
A1m=حد مشتق مرتبه n-m ام تابع Q(x)*(x-a1)^n وقتی x-->a1
با به دست آوردن فرمول های فوق می توان تابع ها با ریشه های مخرج حقیقی را تجزیه كرد.
اما در كتاب دیفرانسیل پیش دانشگاهی مسئله ها تنها حالت زیر را دارند:
Q(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an) o
برای حالت فوق داریم:
P(x)/ Q(x)=A1/x-a1+A2/x-a2+....+An/x-an
كه در آن ضرایب برابر هستند با:
Ai=lim P(x)*(x-ai)/Q(x) x--->ai
یعنی كافیست عامل مربوط به ai را در مخرج حذف كنید و تابع به دست آمده را در نقطه ai محاسبه كنید.
مثلا:
x/(x-1)(x-2)=a/x-1+b/x-2
a=x/x-2 x=1 ==> a=-1
b=x/x-1 x=2 ==>b=2