• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
  • تعداد بازديد :
  • 41093
  • دوشنبه 1385/12/28 ساعت 19:33
  • تاريخ :

فراکتال چیست؟

ما فراکتال‌ها را در زندگی روزمره ی خود به فراوانی مشاهده می کنیم: درخت ها، کوه ها، پراکنده شدن برگ های پاییزی روی زمین. به این تصویرها که در صفحه ی گالری قابل مشاهده است، نگاه کنید و سعی کنید شباهت بین آن ها را درک کنید. حال به این تعریف دقت کنید: فراکتال شکل هندسی چند جزئی است که می‌توان آن را به قسمت هایی تقسیم کرد، به طوری که هر قسمت یک کپی از " کل " شکل باشد. حال دوباره به تصویرها نگاه کنید! به سختی می توان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها در عین پیچیدگی و کاربرد در عالی ترین سطوح ریاضی، بتواند به شکل یک سرگرمی جالب مورد استفاده قرار گیرد. در واقع هندسه ی فراکتالی، حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد! اما حقیقت این است که فراکتال موضوع ساده ای است. به سادگی ابرها یا شعله های آتش. واژه ی فراکتال از ریشه ای یونانی به معنای " تکه تکه شده " و"بخش بخش" آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد. به زبان ساده ، اشکال فراکتالی دارای 3 خاصیت عمومی هستند:

• تشابه به خود

• تشکیل از راه تکرار

• بعد کسری

 

تشابه به خود self similarity

گربه‌ها ، قناری‌ها و کانگوروها به نحوی به هم شبیه هستند. اما در هندسه، تشابه معنای خاصی دارد که حتماً آن را در کتاب ریاضی خود دیده اید و می‌دانید که تشابه، یکسانی اشکال در عین متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانید با بزرگ یا کوچک کردن دو شکل، آن ها را دقیقاً همانند هم کنید، آن دو شکل متشابه اند. اما شکل های خود متشابه کدام‌ها هستند؟ اشکال زیادی وجود دارند که فراکتالی نیستند اما خود متشابه اند.

 به این شکل دقت کنید!     فراکتال

شکل کلی یک ذوزنقه است و خود از ذوزنقه های کوچک تر کنار هم پدید آمده است. این مورد یک مثال از تشابه به خود است.

حال به این مثلث خاص نگاه کنید.

فراکتال

 

این مثلث بزرگ که مثلث سیرپینسکی نام دارد، از مثلث های مشابه کوچک تر تشکیل شده است که همین طور کوچک تر و کوچک تر هم می‌شوند. 

 چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟

چند سؤال:

فراکتالاگر شکل قرمز را شکل پایه در نظر بگیریم ، در شکل آبی چند نمونه از آن وجود دارد؟

فراکتال

فراکتالآیا مربع‌ها خود متشابه اند؟ یعنی می‌توان با مربع های کوچک تر، مربع بزرگی ساخت. شش ضلعی‌ها چه طور؟

فراکتالآیا همه ی دایره‌ها متشابه اند؟ آیا خود متشابه هم هستند؟

 

تشکیل از راه تکرار Iterative formation

مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی ( مثلاً یک خط ) را انتخاب کنیم و با آن یک شکل بسازیم. سپس با شکل به دست آمده، شکل پیچیده تری مانند شکل های قبلی بسازیم، و همین طور به این کار ادامه دهیم. اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی برای ایجاد آن ها نوشته شده است که هر کدام نام و روشی خاص دارند. مثلاً مثلث سیرپنسکی که قبلاً مشاهده کردید و یا :

 

 • دانه برف کخ

• فرش سیرپینسکی

• اژدهای هرتر - های وی

 

ابعاد کسری fractional dimension

همان طور که می‌دانید، یک نقطه بعد ندارد.

یک خط، شکلی یک بعدی است

یک صفحه، دو بعد دارد.

و شکل های حجیم، سه بعد دارند.

اما فراکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند! مثلاً  یا . چه طور چنین چیزی امکان دارد؟

اگر یک پاره خط را نصف کنیم، چه پیش می‌آید؟ 

حال دو خط داریم که همانند هم هستند.

 

 

اگر هر دو بعد یک مربع را نصف کنیم، چه طور؟ حال چهار مربع هم اندازه داریم.

 

با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب به هشت مکعب کوچک تر می‌رسیم.

فراکتال

به جدول زیر دقت کنید:

 

شکل بعد تعداد اشکال متشابه حاصله
پاره خط 1 21=2
مربع 2 22=4
مکعب 3 23=8

 

چه الگویی وجود دارد؟ به نظر می‌رسد که بعد، همان " توان " است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصل باید 2 را به توان بعد آن شکل برسانیم.

پس می‌توانیم مورد زیر را نیز به این جدول اضافه کنیم:

 

هر شکل خود متشابه    d                                       2d=n                               

 

 

این بار به سراغ مثلث خودمان می رویم. 

 

 

برای دیدن محیط تعاملی، نرم افزار جاوا را از اینجا دریافت کنید.

 

 

اگر هر ضلع را نصف کنیم، چند مثلث تشکیل می‌شود؟ به خاطر داشته باشید که مثلث های سفید جزء مثلث سیرپینسکی نیستند. با نصف کردن هر ضلع، به سه مثلث می‌رسیم، یعنی: 3=2d

 

3 عددی است بین 21 و22 . کسانی که با لگاریتم آشنایی داشته باشند، به راحتی این مسأله را حل می‌کنند. برای مطالعه ی بیش تر می‌توانید به سایت های زیر مراجعه کنید:

 

 

 

زیرنویس‏ها

 

1.self similarity

2.iteractive formation

3.fractional dimension

 

 

 

 

   

صفحه اصلی

بازی کنید

گالری تصاویر

UserName