درک کردن اعداد کسری و نسبت ها

اهداف:

پس از انجام فعالیت، دانش آموزان قادر خواهند بود:

کسرهایی از یک واحد را با استفاده از نمایش ناحیه ای کسر ها نشان دهند.

بخش کسری یک مقدار را وقتی که به مقادیر غیر مساوی شکسته شده است، مشخص کنند.

فهم خود را از بخش صحیح یک کسر گسترش دهند.

ارزش واحد اقلامی را که در یک مجموعه هستند، مشخص کنند.

نسبت قسمت های یک شیء را که به طور نامساوی تقسیم شده اند، مشخص کنند.

قسمت اعشاری یک کسر را به صورت معادل های عددی بیان کنند.

وسایل لازم:

برگه‏ی ساختن 4 قسمت

برگه‏ی فعالیت برش کیک به 8 قسمت

برگه‏ی فعالیت برش کیک به 4 قسمت

برش ها

ماشین حساب (اختیاری)

طرح درس:

فعالیت 1: مشتری ها کیک را می برند.

نانوای محله، هر روز مقدار زیادی از کیک های مستطیلی را می پزد و این کیک ها را 8 تکه می کند. سپس هر 8/1 از کیک را به قیمت 159 تومان می فروشد. او به عنوان یک کار تبلیغاتی برای مغازه اش، تصمیم گرفت هر روز کیک ها را به شکلی جدید به 8 قسمت تقسیم کند. مشتری هایی که بتوانند روش جدیدی برای بریدن کیک به 8 قسمت پیشنهاد کنند، یک تکه کیک برنده می شوند.

چه روش هایی برای بریدن کیک، می توان پیشنهاد کرد؟

بعضی از سوال هایی که می توان از دانش آموزان پرسید عبارتند از:

1. شکل کیک های نانوا چیست؟ (مستطیل)
2. چه محدودیت هایی برای بریدن کیک وجود دارد؟ (مقدار کیک همه ی قطعه ها باید مساوی باشد.)
3. چگونه می توانیم مطمئن شویم که دو قطعه ی نا هم شکل از کیک، مقدار مساوی کیک دارند؟ (قطعه ها را به تکه های کوچک تری می بریم و آن ها را با هم تطبیق می دهیم.)

این فعالیت، به دانش آموزان فرصت می دهد تا بخش هایی از یک واحد کل را با استفاده از مدل ناحیه ای کسرها نشان دهند.

بسیاری از دانش آموزان می دانند که کسرها اغلب اوقات به بخش های مساوی از یک واحد اشاره می کنند، اما بارها این دید در آن ها القا می شود که قطعه ها باید هم جنس باشند، نه این که مقدار آن ها مساوی باشد.

از دانش آموزان بخواهید که مسئله را به صورت دو نفری یا در گروه های کوچک با استفاده از برگه‏ی فعالیت "برش کیک به 8 قسمت" حل کنند.

 

برگه‏ی فعالیت برش کیک به 8 قسمت

دانش آموزان می توانند به جای کیک، از قطعات مستطیلی کاغذ استفاده کنند. سپس شکل قطعات را روی کاغذ ها رسم کنند و با بریدن و انطباق آن ها، از هم اندازه بودن قطعه ها اطمینان پیدا کنند. ممکن است دید بعضی از دانش آموزان محدود باشد و تصور کنند خطوط برش حتماً باید با اضلاع کیک موازی باشد. برای یافتن دیگر روش های برش، آن ها را به رقابت بطلبید. (دانش آموزان باید توجه کنند که در این فعالیت، هر مستطیل نشان دهنده ی یک کیک کامل است.)

وقتی دانش آموزان طراحی هایشان را تمام کردند، همه ی طراحی ها را کنار هم قرار دهید و از دانش آموزان بخواهید تا طرح های یکسان را مشخص کنند. مثالی از دو طرح در پایین آورده شده است. دانش آموزان باید بحث کنند که این دو تکه یکسان هستند یا متفاوت.

برای تعیین این که دو طراحی متفاوت هستند، چه عواملی باید در نظر گرفته شود؟ (تعداد قطعات، یکسان بودن آن ها و مکان قرار گرفتنشان، باید در نظر گرفته شود.) دو مستطیل بالا هر دو 8 قطعه دارند اما قطعه ها به شکل های متفاوتی چیده شده اند. دانش آموزان باید تصمیم بگیرند که این دو طرح را متفاوت در نظر بگیرند یا نه.

روش دیگری که باید در نظر گرفته شود، استفاده از برش های منحنی یا خطوط شکسته است. مثل برش های شکل زیر:

تعیین هم ارزی شکل هایی که توسط منحنی بریده شده اند، مشکل اما جالب است. هم ارز بودن شکل هایی که توسط برش هایی به شکل خطوط شکسته پدید آمده اند، ساده تر معین می شود. اگر این دو نوع برش را نیز به مجموعه ی برش ها اضافه کنیم، برش های محتمل زیاد می شوند. به کمک دانش آموزان تعیین کنید که در نهایت چه انواعی از برش ها وجود داشته باشد.

از هر گروه بخواهید که یک طرح انتخاب کنند، آن را به دیگر دانش آموزان نشان دهند (می توانند آن را روی تخته رسم کنند) و سپس توضیح دهند که چگونه می توان اطمینان پیدا کرد که طرح انتخاب شده، کیک را به 8 تکه ی مساوی تقسیم می کند. برای این کار، می توان قطعات کاغذ مربوط به طرح را بریده و روی هم قرار داد.

برای تمرین بیشتر، دانش آموزان می توانند همراه با معلم، طرح های پایینی را بررسی کنند و تعیین کنند که کدام یک از طرح ها کیک را به 8 قسمت مساوی تقسیم می کنند.

فعالیت 2: می توانید هم کیک خود را بخورید و هم آن را نگه دارید!

مدتی بعد، آشپز تصمیم گرفت مسابقه ی جدیدی برگزار کند. این بار مسابقه، مخصوص کارگران نانوایی بود. او به عنوان اقدامی تبلیغاتی برای مغازه اش،  تصمیم گرفت که هر روز کیک ها را به 4 قسمت تقسیم کند به طوری که طرح هر روز با روزهای دیگر متفاوت باشد. در طرح های جدید، الزامی وجود ندارد که قطعه ها مقدار مساوی از کیک را داشته باشند. روش مسابقه به این ترتیب است که کارگران باید روش های جالبی برای بریدن کیک به 4 قسمت پیشنهاد کنند و همچنین با توجه به این که قیمت هر8/1 از کیک 159 تومان است، قیمت هر قطعه را تعیین کنند.

چند روش مختلف می توانید مثال بزنید؟ در هر روش، قیمت هر قطعه کیک را تعیین کنید.

چند سؤال برای بحث با دانش آموزان:

1. چه محدودیت هایی برای بریدن کیک ها وجود دارد؟ (هر کیک باید به 4 قسمت بریده شود. قسمت ها لزوماً هم اندازه نیستند.)
2. چه طور می توانیم مقدار کسری مربوط به قطعه هایی را که بریده ایم، تعیین کنیم؟ (می توانیم از روابط هم ارزیی که می شناسیم، استفاده کنیم. مثلاً می دانیم که 4/2 هم ارز با 2/1 است.)
3. اگر کیک ها را به صورت تصادفی برش بزنیم، چه اتفاقی می افتد؟ (تعیین اندازه ی هر قطعه دشوار خواهد بود.)

در این فعالیت، دانش آموزان به جای بریدن کیک به قطعات مساوی، قیمت هر قطعه را وقتی که اندازه ی قطعه ها مساوی نیستند، تعیین می کنند.

از دانش آموزان بخواهید که مسأله را به صورت دو نفری یا در گروه های کوچک حل کنند. آن ها می توانند از برگه‏ی فعالیت "برش کیک به 4 قسمت" و یا کاغذهای مستطیل شکل و بریدن آن ها به 4 قسمت، استفاده کنند. سپس قیمت هر قطعه را تعیین کنند.

 

برگه‏ی فعالیت "برش کیک به 4 قسمت"

یک روش برای یافتن قیمت قطعه هایی که هم اندازه نیستند، این است که هر قطعه را به نحوی به قطعات کوچک تر تقسیم کنیم که اندازه ی هر یک از قطعات کوچک تر با هم مساوی باشد. در این فعالیت، احتمالاً دانش آموزان از روش هایی که در فعالیت قبلی کشف کرده اند، کمک خواهند گرفت.

پس از این که دانش آموزان طرح های خود را ساختند، می توانید این طرح ها را روی تخته رسم کنید.

 

سپس دانش آموزان باید با توجه به این که قیمت هر  8/1 از کیک 159 تومان است، قیمت هر قطعه را بیابند. قیمت یک کیک کامل چقدر است؟ (اگر 8/1 از کیک 159 تومان قیمت داشته باشد، یک کیک کامل 8 برابر یعنی 1272 تومان قیمت دارد.)

از دانش آموزان بخواهید که پاسخ های خود را توضیح دهند و اثبات کنند.

فعالیت 3: روشی که کلوچه را خرد می کند!

فرض کنید شما 13 کلوچه از نانوایی خریده اید و می خواهید این 13 کلوچه را بین اعضای خانواده ی خود، به طوری که به هر نفر مقدار مساوی کلوچه برسد، تقسیم کنید. به این ترتیب به هر فرد چند کلوچه می رسد؟

از دانش آموزان بخواهید که سؤال مطرح شده در این فعالیت را با فعالیت اول مقایسه کنند و به آن ها فرصت دهید تا در مورد شباهت ها و تفاوت های این فعالیت با فعالیت اول، بحث و تبادل نظر کنند.

شباهت این فعالیت به فعالیت اول در این است که هر دوی آن ها شامل بریدن یک واحد به واحدهای مساوی هستند. از طرف دیگر تفاوت های زیادی نیز با هم دارند: در این مسأله یک واحد، 13 کلوچه است و دقیقاً مشخص نیست که هر کلوچه باید به چند قطعه تقسیم شود و همین طور چون تعداد افراد خانواده های مختلف، متفاوت است، مشخص نیست که کلوچه ها بین چند نفر باید تقسیم شوند. برای دانش آموزانی که تعداد اعضای       خانواده شان متفاوت است، جواب های مختلفی وجود دارد. هم چنین این سؤال مفهوم جزء صحیح را مطرح می کند. اگر 13 کلوچه بین n نفر تقسیم شود، تعداد کلوچه های کاملی که به هر فرد می رسد برابر با جزء صحیح n÷13 می باشد.

می توانید دانش آموزان را بر اساس تعداد اعضای خانواده شان گروه بندی کنید. دانش آموزان می توانند روش پیشنهادی خود را با رسم 13 دایره روی کاغذ و تقسیم دایره ها با استفاده از رسم خطوط، نشان دهند. پس از این که هر گروه مسأله را حل کرد، راه حل خود را با کلاس در میان می گذارد. سپس دانش آموزان جدولی مشابه جدول بالا را کامل می کنند. جدول باید شامل تعداد خانواده های همه ی دانش آموزان باشد. دانش آموزان جدول را با استفاده از جواب هایی که گروه ها می دهند، پر می کنند و سپس مس?له را برای تعداد افراد خانواده های دیگری حل می کنند.

در مورد جواب های دانش آموزان بحث کنید. بحث را بر الگوهای مشترکی که در جواب ها وجود دارد، متمرکز کنید. هدف این است که دانش آموزان به این الگوی کلی پی ببرند که تعداد کلوچه هایی که به هر فرد می رسد، برابر با تعداد کل کلوچه ها تقسیم بر تعداد افراد است.

از دانش آموزان بخواهید قانونی بنویسند که تعداد کلوچه هایی را که به هر فرد می رسد، با این فرض که 13 کلوچه داریم و می خواهیم بین n نفر توزیع کنیم، نشان دهد.

جواب: تعداد کلوچه هایی که به هر فرد می رسد برابر است با    n÷13.

ارزشیابی:

فعالیت 2:

معلم ها می توانند با توجه به جواب های دانش آموزان به این فعالیت، فهم دانش آموزان درباره ی کسرها و هم ارزی بین کسرها را بسنجند.

برای مثال آیا دانش آموزان می توانند تشخیص دهند که 8/4 با 2/1 معادل است؟ آیا دانش آموزان می توانند از اطلاعات خود مبنی بر اینکه 8/6 برابر با 6 تا 8/1 است، استفاده کنند تا قیمت 8/6 از یک کیک را محاسبه کنند؟

تعمیم:

به هر فرد چند کلوچه می رسد در صورتی که.....

1. 20 کلوچه را بین 3 نفر تقسیم کنیم؟ (3/20 یا 6 و 3/2)
2. 20 کلوچه را بین 8 نفر قسمت کنیم؟ (8/20 یا 2 و 2/1)
3. 20 کلوچه را بین x نفر قسمت کنیم؟ (x/20 کلوچه برای هر نفر)

هنگامی که می خواهیم b کلوچه را بین a نفر تقسیم کنیم، تعداد کلوچه هایی که به هر نفر می رسد، از چه رابطه ای به دست می آید؟ (b÷a کلوچه برای هر نفر)

مترجم: آذین آزادی