بازی ریاضی( حل مسئله وزیر زیرک و صلح دو پادشاه)

آنچه در قسمت قبل خواندید....

روی صفحه یک مثلث متساوی الاضلاع رسم کنید و در هر راس آن یک نقطه قرار دهید، به سلیقه ی خود می توانید بین 2 تا 7 نقطه نیز در داخل این مثلث قرار دهید . دو نمونه از این اشکال را در زیر مشاهده می کنید :

نحوه ی بازی به این ترتیب است که هر یک از بازیکنان در هر نوبت یک پاره خط توسط نقاط شکل رسم می کنند و این کار تا جایی ادامه پیدا می کند که دیگر یکی از بازیکنان نتواند پاره خطی را رسم کند، البته با این شرط که هیچ کدام از پاره خط ها همدیگر را قطع نکنند.

به نظر شما تفاوتی بین پاره خط های رسم شده توسط بازیکن اول و دوم وجود دارد ؟!

فرض کنید بازی را با شکلی که دو نقطه درونی دارد انجام دهیم، در این صورت می توانید حدس بزنید بازیکن شماره 1 چند حرکت متفاوت می تواند انجام دهد؟

 آیا می توانید بگویید در این بازی نفر اول برنده است یا نفر دوم ؟

و یا در حدسی متفاوت تر، بگوییم تمام بازی هایی که روی این صفحه انجام می شوند به تعداد یکسانی از حرکت ها ختم خواهند شد ؟!

حال سعی کنید این بازی را چندین مرتبه با شکلی که هفت نقطه درون آن است انجام دهید و قانونی برای برنده شدن در آن ارائه دهید . برای ساده تر شدن کار تعداد نقاط و پاره خط ها را یافته و نواحی به وجود آمده را شمرده و آن ها را به ترتیب V و E و F  بنامید، این نکته را نیز به خاطر داشته باشید که ناحیه احاطه کننده بازی را نیز جزء نواحی خود محسوب کنید.

پس از شمارش V و E و F سعی کنید آن ها را با هم مقایسه نموده و ببینید آیا می توان یک رابطه منطقی میان آن ها یافت ؟

مثلا در شکل شماره 1 ، 5 نقطه و 9 پاره خط و 6 ناحیه داریم . مطمئناً تا به این جای کار پس از انجام مراحل گفته شده به این مطلب دست یافته اید که در پایان هر بازی نواحی به دست آمده همگی مثلثی شکل هستند. می توانید برای بررسی بهتر هر یک از این نواحی را برش دهید.

با کمی مقایسه و دقت در مقادیر V و E و F  در پایان هر بازی می توان منطق جالبی برای آن یافت به این صورت که در پایان هر بازی مقدار V – E + F  ثابت و برابر 2 است.

 "این مقدار را مقدار اویلر می نامند".

اکنون با توجه به روابط به دست آمده و حدسیات موجود سعی کنید قانونی برای برنده شدن در این بازی ارائه دهید. مثلاً فرض کنید این بازی را با 99 نقطه انجام دهیم ، نفر اول برنده است یا نفر دوم ؟

با انجام بازی با شکل 2 نقطه ای (مثلثی که 2 نقطه درون آن بود) متوجه این امر شدید که در هر حالت نفر اول برنده بازی است چرا که در این شکل امکان رسم 10 پاره خط وجود دارد ولی 2 تای آن ها متقاطع هستند پس طبق قانون بازی فقط  9 پاره خط قابل قبول است و لذا نفر اول برنده بازی است.

اکنون می توانید روندی برای برد در هر بازی ارائه دهید. به نظر شما این روند بستگی به چه مواردی دارد؟ احتمالاً جواب شما تعداد نقاط، محل قرار گیری آن ها و تعداد پاره خط های موجود است! نکته ی دیگری که در طول انجام این فعالیت بایدبه آن دقت کنید این است که تا حد امکان از قرار دادن 3 نقطه در طول یک پاره خط پرهیز کنید. (چرا؟). به نظر شما آیا حدس زیر برای تشخیص نفر برنده درست است؟

احتمالاً بازیکن اول در صورتی برنده است که تعداد نقاط، عددی فرد باشد و بازیکن دوم در صورتی که تعداد نقاط، عددی زوج باشد برنده خواهد بود . مثلا در شکل 2 نقطه ای که بازیکن اول برنده بود داریم:

 V = 5 , E = 9 ,F = 6.

شما هم می توانید حدسیات خود را بیازمایید . اما بیایید کمی ریاضی تر به این مطالب بنگریم. مقادیر بدست آمده برای V و E و F  را در پایان هر بازی در جدولی یادداشت کرده و به خوبی آن ها را مشاهده و در نهایت با هم مقایسه کنید. مطمئن باشید نکات جالبی خواهید یافت! پس از این مشاهده دقیق ادامه مطلب را بخوانید.

پس از اندکی تفکر حتما شما هم به این نتیجه رسیده اید که نسبت بین پاره خط ها و نواحی در هر بازی مقداری است ثابت!

به عبارتی= 3/( 2)  2E = 3F,  E/(F ).

به نظر شما چرا دو رابطه V – E + F = 2  و  2E = 3F در تمام بازی ها صادق است؟

اکنون پس از بدست آمدن این دو رابطه بار دیگر به مراحل ابتدایی کار گذری کنید. خواهید یافت چرا نواحی، مثلثی شکل هستند، چرا که در غیر این صورت می توانستید پاره خط دیگری رسم کنید. همچنین پس از برش نواحی حتما تعداد پاره خط ها 3F  است.

جالب است بدانید مقدار اویلر یعنی V – E + F  برای هر شكل مسطح متصل (دو وجهی) برابر 2 است (یعنی شبکه ای از رئوس متصل به صورت جفت ، با پاره خط های غیر متقاطع که هر دو راس با یال های (پاره خط) متوالی به هم وصل شده اند .) می دانیم هر پاره خط نشان از اتصال دو نقطه و افزایش یک واحد به تعداد نواحی دارد . حال با تمام گفته های بالا چرا مقدار V – E + F همواره ثابت است؟

به طور یقین اکنون می توانید بگوئید که پس از انجام یک بازی با 99 نقطه چه کسی برنده است؟

با بررسی دو رابطه V – E + F = 2  و 2E = 3F  خواهیم داشت( E = 3( V – 2 . پس اگر V  زوج باشد لذا E  زوج است و نفر دوم برنده بازی خواهد بود و برعکس، اگر V  فرد باشد E هم فرد خواهد بود و لذا نفر اول برنده بازی است.

و حالا سوال آخر : فرض کنید این بازی را با شکل دیگری مثلا یک مربع و یا هر چند ضلعی دیگری انجام دهید ، به نظر شما چه اتفاقی می افتد ؟ یکی از کاربرد های زیبای این مطلب این است که بیان می کند یک گراف کامل با 5 راس، مسطح نمی باشد!

کلبه آفرینش فکر- تهیه: حمداوی و کاشانچی

مرکز یادگیری سایت تبیان - تنظیم: سمیرا بادامستانی