هتل بی نهایت

هم‌ارزی مجموعه‌ها و برخی ویژگی‌های نامتعارف مجموعه‌های نامتناهی!

هتل بی‌نهایت داستان بسیار جالبی است که "داوید هیلبرت" ریاضی دان مشهور آلمانی مطرح کرده است. شما می‌توانید از این داستان برای آموزش مفهوم "هم‌ارزی مجموعه‌ها" و هم‌چنین مفهوم "مجموعه‌ی نامتناهی"، به دانش‌آموزان استفاده کنید.

مقاله ای که برای مطالعه‌ی دانش‌آموزان تألیف شده است، زمینه‌ی مناسبی را برای بحث در خصوص مفهوم بی‌نهایت و هم‌چنین مفهوم هم‌ارزی ( مخصوصاً میان مجموعه‌های N، W، Z و Q ) فراهم می‌کند. شما می‌توانید این مقاله (و تدریس مفاهیم نهفته در آن) را در برنامه‌ی دو جلسه از کلاس خود بگنجانید.

در جلسه‌ی اول، داستان "هتل‌داری آقای هیلبرت" ( که در متون رسمی به "هتل بی‌نهایت" شهرت دارد ) را برای دانش‌آموزان بازگو کنید و در هر مرحله، راه حل مشکل ایجاد شده برای آقای هیلبرت را از آن ها بخواهید. در این جلسه نیازی به ذکر جزئیات دقیق ریاضی نیست، حتی می‌توان از صحبت در مورد مجموعه‌های اعداد هم صرف نظر کرد و دانش آموزان را صرفاً با مفهوم "بی‌نهایت" و  "هم‌ارزی" درگیر کرد.

می‌توان حتی بیش از این نیز بحث را ساده کرد؛ مثلاً برای رهایی از سؤالات نامفهوم، اما رایجی که دانش‌آموزان در اولین مراحل مواجه شدن با مفهوم "بی‌نهایت" مطرح می‌کنند، می توانید این کلمه ( بی‌نهایت ) را هم مطرح نکنید. به طور مثال برای توضیح در مورد تعداد اتاق‌های هتل هیلبرت می‌توانید بگویید: « اتاق‌های این هتل تمامی ندارد! یعنی برای هر عددی که شما در نظر بیاورید، هتل، اتاقی با آن شماره و نیز اتاق‌هایی با شماره‌های بیش از آن دارد ». فراموش نکنید: هیجانی که شما به داستانتان می‌دهید، اثر مستقیمی در هم راهی و هم یاری دانش‌آموزان در طول این جلسه و نیز توجه به توضیحات شما در جلسه‌ی بعد، دارد. احتمالاً هیلبرت کبیر (!) نیز با همین قصد، مفاهیم مورد نظر را در بطن یک داستان گنجانده است!

در جلسه‌ی دوم می‌توانید به ذکر برخی جزئیات ریاضی نهفته در پشت پرده‌ی این داستان بپردازید. در مرحله‌ی اول سعی کنید که مفهوم « هم‌ارزی » یا « هم‌اندازه بودن » مجموعه‌ها را برای دانش‌آموزان شرح دهید. برای این ‌کار می‌توانید از آموخته‌های سال‌های دبستان آن ها کمک بگیرید. با یک مثال برای آن‌ها یادآوری کنید که در دوران ابتدایی مفاهیم بزرگ ‌تر، کوچک ‌تر و برابر بودن اعداد را چگونه آموخته‌اند. مثلاً یادآوری کنید که: کتاب ریاضی برای آموزش این‌ که 3<4 است ، دو بیضی به شکل‌های زیر کشیده بود و انجام این مراحل را از ما خواسته بود:

از ما خواسته بود که تعداد اشکال داخل هریک را بشماریم و در مربع‌های زیر بیضی‌ها بنویسیم:

در مرحله‌ی بعد خواسته بود که اشیاء هم رنگ را به هم وصل کنیم:

و درنهایت با این استدلال که در طرف چپ، یک شی‌

در هر مرحله‌، تمام این اشکال را برای آنان بکشید. پس از این مراحل دانش‌آموزان شما آمادگی درک مفهوم تناظر یک ‌به ‌یک و هم‌ارزی را خواهند داشت. برای آن‌ها ابتدا مفهوم "تناظر یک ‌به ‌یک" دو مجموعه‌ی متناهی را بازگو کنید و سپس با تعمیم آن، مفهوم هم‌ارزی مجموعه‌های نامتناهی را شرح دهید:

تعریف 1: دو مجموعه ‌ی A و B ( چه متناهی و چه نامتناهی ) راهم‌ارز ( یا هم‌اندازه ) می‌گوییم، هرگاه تابع یک ‌به ‌یک و پوشایی چون f وجود داشته باشد که دامنه‌ی آن A و برد آن B باشد. هم‌ارزی دو مجموعه‌ی A و B را با نماد A~B نشان می‌دهیم. ( اگر این متن را برای دانش آموزان دو سال آخر دبیرستان تدریس می‌کنید می‌توانید از آن‌ها بخواهید که ثابت کنند: ~ یک رابطه‌ی هم‌ارزی - یعنی انعکاسی، تقارنی و متعدی - است ).

تعریف2: می‌گوییم مجموعه‌ی A کوچک ‌تر یا مساوی مجموعه‌ی B است و می‌نویسیم A≤B است؛ اگر و تنها اگر یک تابع یک ‌به ‌یک ( و نه لزوماً پوشا ) از A به B موجود باشد. در ریاضیات قضیه‌ای وجود دارد که بیان می‌کند: اگر شرایط A≤B و B≤A برای دو مجموعه‌ی A و B برقرار باشد، آن‌ گاه A هم‌ارز B خواهد بود ( یعنی: A~B ).

اکنون با در نظر داشتن این تعاریف و قضیه‌ی فوق می‌توانید به بررسی و تحلیل دوباره ‌ی سکانس ‌های «هتل‌داری آقای هیلبرت» برای دانش‌آموزان بپردازید:

سکانس اول: مجموعه ‌ی اتاق‌های هتل آقای هیلبرت را با N یا همان مجموعه‌ی اعداد طبیعی نشان دهید، به این ترتیب که هر عدد، متناظر با اتاقی باشد که شماره‌ ی آن اتاق، عدد مذکور است. مثلاً عدد 3 به معنای اتاق شماره‌ی 3 است. به علاوه مجموعه‌ی W را متناظر با مسافران هتل آقای هیلبرت بگیرید به این ترتیب که عدد 0 در این مجموعه متناظر با آقای بازرس است و سایر اعداد متناظر با فردی است که قبل از آمدن آقای بازرس در اتاقی با همان شماره اقامت داشته است. به عنوان مثال عدد 5 متناظر با فردی است که پیش از آمدن آقای بازرس در اتاق شماره‌ی 5 اقامت داشته است. سپس تابع  را به صورت زیر برای دانش‌آموزان تعریف کنید:

f(n)=n+

در این قسمت می‌توانید از دانش‌آموزان بخواهید که با استفاده از مطالبی که تا به این جا تدریس کرده‌اید، ثابت کنند که به ازای هر مجموعه‌ی متناهی A: N~N U A

سکانس دوم: آن ‌چه در این بخش آمده است تعبیری است از هم‌ ارزی مجموعه ‌ی اعداد فرد (O ) با مجموعه ‌ی اعداد طبیعی. چرا که در این بخش همه‌ ی اتاق ‌های با شماره ‌ی فرد هتل پسر عموی آقای هیلبرت ( که هم‌ اندازه با O است ) را با همه ‌ی مسافران هتل آقای هیلبرت ( که هم‌اندازه با N است )، پر کردیم. شما می‌توانید این عمل را با تعریف تابع

g(n)=n-

از آنان بخواهید که یک ‌به ‌یک و پوشا بودن g را تحقیق کنند و N~O را نتیجه بگیرند.

در این قسمت می‌توانید هم‌ارزی مجموعه ‌ی اعداد صحیح و اعداد طبیعی (یعنی: N~Z) را نیز برای دانش‌آموزان اثبات کنید و یا با ذکر راهنمایی زیر، اثبات آن را به عنوان یک تمرین از آن‌ ها بخواهید:

راهنمایی: تابعی چون  تعریف کنید که اعداد صحیح نامنفی را به اعداد طبیعی زوج ببرد و اعداد صحیح منفی را به اعداد طبیعی فرد؛ سپس دو طرفه بودن این تابع را تحقیق کنید.

سکانس سوم: این قسمت دشوارترین‌ مرحله ‌ی کار شما در تدریس این مقاله است. از آن ‌جایی که درک مطالب نهفته در این بخش برای اکثر دانش آموزان دشوار است، می‌توان به توضیحات بسیار مختصری در این زمینه اکتفا کرد. اگر دانش‌آموزان توانستند راه حل آقای هیلبرت برای مشکل ایجاد شده را به خوبی درک کنند، می‌توانید توضیحات زیر را هم به محتوای مطالب تدریسی خود اضافه کنید:

« اگر راه حل آقای هیلبرت را بپذیریم، در حقیقت تناظری یک ‌به ‌یک میان NxN ( ضرب دکارتی N در خودش ) و N برقرار کرده ایم. یعنی NxN~N. این مسأله نکته ‌ی بسیار عجیبی را بیان می‌کند. چرا که اگر NxN~N ، آن ‌گاه می ‌توان مدعی شد که N~Q  ».

برای این کار مجموعه ی اعداد گویا را مجموعه ای از کسرها در نظر بگیرید که صورت و مخرج آن ها نسبت به هم اول هستند. به این ترتیبت می توانیم Q را در جدول N*N قرار دهیم. بنابراین Q≤N*N و چون N~N*N می باشد، پسQ≤N ، اما می‌دانیم که N  زیر مجموعه ای از Q است. پس N+Q و ^-Q را به ترتیب مجموعه‌ی اعداد گویای مثبت و منفی در نظر بگیرید.

الف. ⁺NxN ≤Q  ( تابع  را به صورت i(m,n)=2m / 3n تعریف کنید و تحقیق یک ‌به‌ یک بودن آن را از دانش‌آموزان بخواهید. n , m نسبت به هم اول هستند ). 

ب.⁺NxN ≥ Q ( تابع  را به صورت

 تعریف کرده و تحقیق یک ‌به ‌یک بودن آن را از دانش‌آموزان بخواهید. در تحقیق یک ‌به ‌یک بودن تابع j ، فرص "اول بودن صورت و مخرج یک کسر گویا نسبت به هم " ضروری است ).

ج. از الف و ب نتیجه می‌شود: ⁺NxN~Q و چون  ^-Q⁺~ Q ( چرا؟ ) پس می‌توان نتیجه گرفت که Q⁺~NxN.

د. حال چون ^-O~E~N~NxN~Q⁺~Q ( که E مجموعه‌ی اعداد طبیعی زوج است )، پس می‌توان ^-Q را در O جایگزین کرد و ⁺ Q را در E؛ و به این ترتیب:

که

در پایان می‌توانید سؤالات زیر را نیز مطرح کنید:

1. آبا همه‌ی مجموعه‌های نا‌متناهی هم‌ارزند؟
2. آیا مجموعه‌ای نامتناهی چون A وجود دارد که کوچک ‌تر یا مساوی N باشد و هم‌ارز آن نباشد؟
3. آیا R (مجموعه‌ی اعداد حقیقی) با N هم ارز است؟
4. آیا مجموعه‌ای چون A وجود دارد که با R و N هم‌ارز نباشد، اما A≤R و نیز N≤A ؟ البته پاسخ دادن به این سؤالات کار چندان ساده ای نیست!!

هتل داری آقای هیلبرت

نویسنده: صالح زارع پور