مقاطع مخروطی - بخش سوم

تعریف

سهمی، مكان هندسی تمام نقاطی از صفحه است كه از یك خط ثابت d در آن صفحه و یك نقطه ی ثابت F غیر واقع برd ، به یک فاصله باشند.

به نقطه ثابت F که درون سهمی قرار دارد کانون سهمی و به خط d  خط هادی سهمی می گویند. شکل زیر یک سهمی و ویژگی های آن را نشان می دهد.

در شکل فوق M نقطه دلخواهی روی سهمی می باشد به طوری که فاصله نقطه M از خط d و فاصله همین نقطه M از نقطه  F  (کانون سهمی) برابرند. یعنی lMHl=lMFl

محور تقارن سهمی 

خط گذرا از كانون سهمی و عمود بر خط هادی را محور تقارن سهمی  می گوییم. 

رأس سهمی

نقطه ی تقاطع محور تقارن سهمی و نمودار سهمی را راس سهمی می گویند و مختصات آن را به صورت نشان می دهند .

مطابق شکل فوق راس سهمی دقیقا نقطه وسط پاره خطی است که از کانون بر خط هادی عمود می شود. معمولا فاصله کانون تا راس را با lal یا p  نشان می دهند که p را همواره مثبت در نظر می گیریم. بنابر این فاصله کانون تا خط هادی برابر l2al می باشد.

وتر کانونی

وتری كه از كانون سهمی می گذرد و بر محور تقارن سهمی عمود است را  وتر كانونی می گویند. در شکل زیر پاره خط AB وتر کانونی می باشد.

برای محاسبه طول وتر کانونی دقت کنید چون A روی سهمی قرار دارد پس lAHl برابر lAFl خواهد بود با توجه به این نکته طول پاره خط AB یا همان وتر کانونی برابر است با:

سهمی قائم و افقی

سهمی قائم: فرم کلی سهمی قائم به صورت زیر می باشد:

در فرمول سهمی قائم اگر a>0  دهانه سهمی رو به بالا و اگر a<0 دهانه سهمی رو به پایین است.

در سهمی قائم رو به بالا، با داشتن مختصات  می توان مختصات نقطه کانون و معادله خط هادی را بدست آورد. به این صورت که از نقطه راس به اندازه a واحد بالا می رویم (یعنی طول تغییر نمی کند اما a واحد به عرض اضافه می شود) و به نقطه کانون می رسیم.هم چنین a واحد پایین می آییم سپس خط را رسم می کنیم.در سهمی قائم رو به پایین به طور مشابه عمل می کنیم.

سهمی افقی: فرم کلی سهمی افقی به صورت زیر می باشد:

در سهمی افقی اگر a>0 سهمی رو به راست و اگر a<0 سهمی رو به چپ می باشد.

برای محاسبه مختصات کانون با استفاده از راس سهمی رو به راست کافی ست به اندازه a واحد به سمت راست و چپ برویم. aواحد به سمت راست کانون را می دهد. یعنی a تا به طول اضافه شده و عرض تغییر نمی کند. و a واحد به سمت چپ معادله خط هادی را بدست می دهد.

مثال: در سهمی زیر فاصله کانون تا خط هادی را بیابید:

1) در سهمی  قائم درجه عبارت شامل x برابر دو است و در سهمی افقی درجه عبارت شامل y برابر دو است.

2) برای تشخیص سهمی قائم x² وy را در دو طرف قرار می دهیم. اگر هم علامت بودند سهمی رو به بالا و گرنه رو به پایین است.

3) برای تشخیص سهمی افقی  x وy² را در دو طرف قرار می دهیم. اگر هم علامت بودند سهمی رو به راست و گرنه رو به چپ است.

4) خط هادی هیچ گاه سهمی را قطع نمی کند و به فاصله a از راس سهمی قرار گرفته است.

5) از هر نقطه روی خط هادی می توان دو خط به سهمی مماس کرد. در این صورت این دو خط همواره برهم عمود هستند.

6) اگر از نقطه ای  روی محور تقارن بتوان دو خط مماس به سهمی رسم کرد، در این صورت این دو خط همواره برهم عمود هستند.

معادله گسترده سهمی

در معادله ی گسترده ی سهمی همه عبارات ساده شده و در یک سمت قرار دارند. برای محاسبه  مختصات راس سهمی باید نسبت به متغیر از درجه 2 مشتق  گرفته، ریشه آن را محاسبه کنیم تا یکی از مولفه ها بدست آید. سپس با جایگذاری در فرمول اصلی ،مولفه دیگر محاسبه می شود. در زیر معادله گسترده سهمی افقی نشان داده شده است:

مثال: مختصات کانون سهمی y²+6y+4x+1=0  را بدست آورید.

پاسخ: مشخص است که سهمی افقی است(زیرا توان y دو است).

از اینکه a منفی است نتیجه می شود سهمی رو به چپ است البته در معادله اصلی هم طبق نکته 2و3 وقتی y² و x را در دو طرف تساوی قرار می دهیم چون مختلف علامه هستند سهمی رو به چپ خواهد بود.

بنابر این اگر از راس یک واحد به سمت چپ برویم کانون را می یابیم . پس مختصات کانون برابر (1,-3 ) می باشد. هم چنین اگر از راس یک واحد به سمت راست برویم به معادله خط هادی می رسیم .پس x=3 معادله خط هادی می باشد.

در ادامه با مقاطع مخروطی بیشتری آشنا می شویم.

دایره

بیضی

هذلولی

تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان