.:: مجموعه اعداد صحيح و گويا ::.
الف: مجموعه عددهاي صحيح |
عدد صحيح:(integer)
صحيح به معني تندرست، سالم و درست مي باشد و هر يك از اعداد 0 , 1± , 2± , ... را يك عدد صحيح مي ناميم. مجموعه ي اعداد صحيح را با حرف كه از كلمه آلماني Zahlen به معني «عدد صحيح» گرفته شده است، نمايش مي دهند. اين مجموعه عبارت است از:
{ ... , 3+ , 2+ , 1+ , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} =
نمايش مجموعه عددهاي صحيح:
براي معرفي يك مجموعه روشهاي مختلفي وجود دارد. اگر اعضاي مجموعه مشخص باشند، اعضاي مجموعه را مي نويسيم مانند: مجموعه كتابهاي درسي سال سوم دوره راهنمايي تحصيلي گاهي اوقات لازم است به جاي نوشتن اعضاي يك مجموعه ، خاصيت اعضاء آن را بيان كنيم. به عنوان مثال فرض كنيد معاون پرورشي يك مدرسه خطاب به دانش آموزان آن مدرسه مي گويد:
دانش آموزاني كه در نوبت اول معدل آن ها بيشتر از 18 باشد ، به اردوي علمي ، تفريحي در شهر اصفهان خواهند رفت. در اين جا اعضاي مجموعه فعلا مشخص نيستند ، بلكه ويژگي و خاصيت اعضاي مجموعه كه معدل بالاي 18 مي باشد در آينده اي نزديك اعضاي مجموعه رامشخص خواهد كرد.
اكنون مجموعه اعداد صحيح بين 3+ و 3- را در نظر بگيريد و به معرفي اين مجموعه در حالتهاي مختلف توجه كنيد:
الف) نمايش مجموعه اعداد صحيح بين 3+ و 3- روي محور اعداد صحيح:
ب) نمايش مجموعه اعداد صحيح بين 3+ و 3- به زبان رياضي:
ج) نمايش مجموعه اعداد صحيح بين 3+ و 3- با نوشتن اعضاي آن مجموعه:
{ 2 , 1 , 0 , 1- , 2- }=A
مثال: مجموعه هاي زير با علائم رياضي بيان شده اند. آن ها را با اعضاء مشخص كنيد:
الف):
حل: مجموعه A بيان مي كند : « x بطوريكه x به اعداد صحيح تعلق دارد و مربع آن برابر عدد يك است.» . پس از خواندن اين جمله بايد اعدادي را كه واجد اين خاصيت هستند، پيدا كنيم. بديهي است كه عددهاي صحيح 1+ و 1- اين خاصيت را دارند بنابراين :
{ 1- و 1+} =A
ب):
حل: گاهي اوقات به جاي به كاربردن متغير ، عبارتي جبري شامل متغير بكار مي رود.
(2x) نماينده اعضاي اين مجموعه است كه بيان مي كند x به اعداد طبيعي تعلق دارد. بنابراين:
{ ... و 16 و 8 و 4 و 2}=B
جمع عددهاي صحيح:
الف) جمع با توجه به بردار:
مثال: جمع متناظر با بردار را بنويسيد.
حل:
( عدد انتهاي بردار) = (طول بردار)+ ( عدد ابتداي بردار)
( 3+ ) = ( 5+ ) + ( 2- )
ب) جمع بدون توجه به بردار: براي نوشتن حاصل جمعه به صورت زير عمل مي كنيم:
1. ابتدا تا حد امكان مختصر نويسي مي كنيم.
2. اگر عددها هم علمت باشند، جمع مي كنيم و اگر مختلف العلامت باشند، كم مي كنيم.
3. علامت جواب بدست آمده را مشخص مي كنيم.
مثال: 7=5-12=(5-)+(12+)
يادآوري: چنانچه بخواهيم از قرينه يابي استفاده كنيم به صورت زير عمل مي كنيم:
11-=(4+7)-=(4-)+(7-)
5-=(10-15)-=(10+)+(15-)
4-=(8-12)-=(12-)+(8+)
تفريق عددهاي صحيح:
الف) تفريق با استفاده از بردار:
مثال: تفريق متناظر با بردار را بنويسيد.
حل: (عدد ابتداي بردار) = ( طول بردار) - ( عدد انتهاي بردار)
( 3- ) = ( 4+ ) - ( 1+ )
ب) تفريق اعداد صحيح بدون توجه به بردار:
براي تفريق كردن عدد b از عدد a ، مي توانيم قرينه b را با a جمع كنيم: يعني:
a-b = a+(-b)
مثال:
22=7+15=(7+)+(15+)=(7-)-(15+)
ب: مجموعه عددهاي گويا |
عدد گويا: (rational Number):
گويا صفت فاعلي از مصدر گفتن مي باشد و در رياضي هر عدد كسري مانند يا هر عددي كه بتوان آن را به شكل يك كسر نوشت مانند 2- , 0 , 3+ , 2/3- , 25/0 كه به ترتيب به شكل كسرهاي نوشته مي شوند ، را يك عدد گويا مي ناميم.
مجموعه عددهاي گويا:
اين مجموعه شامل تمام اعداد گويا است، اين مجموعه را با حرف Q كه حرف اول كلمه Quotient است، نمايش مي دهند.
نمايش مجموعه عددهاي گويا به زبان رياضي به صورت زير است:
نماد اعشاري اعداد گويا:
براي مشخص كردن نماد اعشاري اعداد گويا كافي است صورت را بر مخرج كسر تقسيم كنيم. با اين تقسيم امكان ايجاد دو نوع عدد اعشاري در خارج قسمت وجود دارد:
1) عدد اعشاري مختوم
2) عدد اعشاري متناوب
مثال:
1- عدد اعشاري مختوم:
اگر در هنگام تقسيم صورت بر مخرج به باقيمانده صفر برسيم، عدد اعشاري ايجاد شده مختوم است. عدد اعشاري مختوم به صورت دهم ، صدم ، هزارم و ... بيان مي شوند و خيلي ساده مي توان آن ها را به صورت كسر تبديل كرد مانند:
2- عدد اعشاري متناوب:
اگر در تقسيم صورت بر مخرج كسري به باقي مانده صفر نرسيم و مرتبا عددي در خارج قسمت تكرار شود، اين عدد ، عدد اعشاري متناوب نام دارد.
اعداد اعشاري متناوب به صورت نوشته مي شوند و بدين معني است كه رقم هاي زير خط تيره در اعشار تكرار مي شوند. مانند:
نكته1: اگر ارقام تكراري بلافاصله پس از مميز شروع شوند، عدد اعشاري متناوب ساده است و براي تبديل آن به صورت كسر از فرمول زير مي توان استفاده كرد:
مثال:
نكته 2: اگر ارقام تكراري بلافاصله پس از مميز شروع نشوند، عدد اعشاري متناوب مركب است وبراي تبديل آن به صورت كسر از فرمول زير مي توان استفاده كرد:
مثال:
نتيجه: اگر اعداد اعشاري مختوم يا متناوب باشند، قابل تبديل به كسر هستند.
اعدادي مانند كه در هنگام جذر گرفتن به باقيمانده صفر نمي رسند و جواب بدست آمده نه مختوم مي شود و نه متناوب ، قابل تبديل شدن به كسر نيستند و اين بدان معني است كه گويا نمي باشند و غير از اعداد گويا اعداد ديگري هم وجود دارد.
محور اعداد گويا:
عدد را بر روي محور مشخص كنيد.
حل: براي اين كار كافي است فاصله بين 3- تا 4- را به 5 قسمت مساوي تقسيم كنيم و 3 تا از آن را انتخاب كنيم.
تساوي كسرها و كسر علامت دار:
عدد را روي محور نشان داده و با هم مقايسه كنيد.
چنانچه مشاهده مي كنيد دو عدد برابرند. يعني بر روي محور اين اعداد يك نقطه را مشخص مي سازند. مي دانيم به صورت زير بدست آمده است:
(صورت و مخرج در عدد 2 ضرب شده است)
بنابراين مي توان گفت: اگر صورت و مخرج كسر را در عدد غيرصفر n ضرب كنيم، كسر بدست مي آيد كه با كسر اوليه برابر است.
گويا كردن يك كسر:
هر گاه مخرج يك كسر ، راديكال داشته باشد، چنانچه عملي انجام دهيم تا راديكال مخرج حذف شود، اين عمل را گويا كردن كسر گويند.
1. اگر كسر به صورت باشد. (0<b) براي گويا كردن كسر، صورت و مخرج كسر را در ضرب مي كنيم.
مثال:
2. اگر كسر به صورت باشد ، (0<a,b) صورت و مخرج را در ضرب مي كنيم.
مثال:
1. قاعده دور در دور و نزديك در نزديك در تقسيم به صورت مقابل مي باشد. 2. حاصل ضرب هر عدد در وارون آن عدد مساوي يك مي باشد. مثال: اگر A و وارون يكديگر باشند، مقدار A چقدر است؟
3. هر گاه اعداد گويا باشند، بين آن دو قرار دارد. مثال: بين دو كسر ، پنج كسر ديگر بنويسيد.
با توجه به اين نكته مي توان نوشت: و به همين ترتيب 5 كسر در بين اين دو عدد مشخص مي شود.
á بين دو عدد گويا چند عدد وجود دارد؟
4. عدد گوياي را تحويل ناپذير گويند هر گاه ب.م.م a و b مساوي يك باشد. مثال: . اگر كسر قابل ساده شدن باشد، عدد گوياي را تحويل پذير مي نامند ؛ مانند .
5. اگر در تجزيه مخرج يك عدد گوياي تحويل ناپذير (ساده نشدني) فقط عامل هاي 2 و 5 باشد ، آن كسر به عدد اعشاري مختوم تبديل مي شود. مثال:
6. اگر در تجزيه مخرج يك عدد گوياي تحويل ناپذير (ساده نشدني) عامل هاي 2 و 5 وجود نداشته باشد، آن كسر به عدد اعشاري متناوب ساده تبديل مي شود. مثال:
7. اگر در تجزيه مخرج يك عدد گوياي تحويل ناپذير (ساده نشدني) ، علاوه بر عامل هاي 2 و 5 عاملهاي اول ديگري نيز مانند 3 ، 7 ، 11 ، ... وجود داشته باشد، آن كسر به عدد اعشاري متناوب مركب تبديل مي شود. مثال:
|
þ تست1 :
مجموعه ي با كداميك از مجموعه هاي زير مساوي است؟
د) {0,1} | ج) {1, 1-} | ب) {0} | الف) {1} |
þ تست2 :
مجموعه ي كدام است؟
د) { }=Ø | ج) {2, 1, 0, 1-, 2-} | ب) {2, 1} | الف) {2, 1, 0, 1-, ...} |
þ تست3 :
حاصل عبارت [8-(4-2)5-1]3-3- برابر است با:
د)3- | ج) 6- | ب) 18- | الف) 12- |
þ تست4 :
نصف عدد برابر است با:
د) | ج) | ب) | الف) |
þ تست5 :
به جاي a چه عددي مي توانيم قرار دهيم تا دو كسر زير معكوس يكديگر باشند؟
د) 5- | ج) 4- | ب)1 | الف) 2 |
þ تست6 :
حاصل عبارت چقدر است؟
د) 8 | ج) | ب) 4 | الف) |
þ تست7 :
كدام يك از اعداد زير گويا است؟
د) | ج) | ب) | الف) |