پرسش

برای دو خط متنافرL1 با معادلات (x+1)/2 = y/-1= (z+2)/1 و L2 با معادلات x/1= y/2= z/3 كوتاهترین فاصله بین دو خط (طول عمود مشترك) و معادله عمود مشترك را پیداكنید.
توضیح: اگر معادلات به درستی ظاهر نشدند آنرا در word كپی كرده و بخوانید
با تشكر

پاسخ

برای پیدا كردن فاصله بین دو خط فاصله دو صفحه ای را پیدا می كنیم كه موازی هم هستند و از این دو خط می گذرند.واضح است كه بردار نرمال صفحه ضرب خارجی بردار هادی این دو خواهد بود:
N=(1,2,3)*(2,-1,1)=(5,5,-5) o
می توان N را به فرم (1,1,1) فرض كرد.حال معادلات صفحات می شود:
x+y+z=0
x+y+z=-1+-2=-3
فاصله دو صفحه می شود : x: |3-0| /(1+1+1)^.5 كه می شود رادیكال 3.
برای پیدا كردن معادله ابتدا هادی خط را می یابیم كه ضرب خارجی دو هادی بود و قبلا به دست آوردیم .باید نقطه ای را بیابیم .برای این كار از معادله پارامتری استفاده می كنیم:
x=t,y=2t,z=3t
x=2r-1,y=-r,z=r-2
اگر نقاط عمود مشترك را كه روی این دو خط قرار دارند را در نظر بگیریم در معادله پارامتری صدق میكنند و برداری كه این دو را به هم وصل می كنند حتما با بردار هادی موازی است.این بردار فرم زیر است:
(t-2r+1,2t+r,3t-r+2(
این بردار موازی (1,1,1) است پس دو معادله و دو مجهول داریم:
t-2r+1=2t+r=3t-r+2
t+3r=1,t-2r=-2
با به دست آوردن tوr یكی از نقاط به دست آمده و با بردار هادی خط به دست می آید.