پرسش

3-اگر(M(0,4),N(-3,0),P(-1,1- به ترتیب اوساط اضلاعAC,AB,BC باشند ، ثابت
كنید:
مساحت دو مثلث MNP و ABC برابر است.

پاسخ

شكل فرضی مسئله را رسم می كنیم. ابتدا مثلث فرضی ABCرا رسم می كنیم، سپس وسطهای اضلاع را به هم وصل می كنیم تا مثلثMNP به دست آید:

می توان از روش هندسی كمك گرفت و ثابت كرد كه تمام مثلثهایANM,NMP,MPC,NPB با هم برابرند( به حالت تساوی زض ز). پس مثلثABC به 4 قسمت مساوی تقسیم شده است . در این صورت:
مساحت دو مثلث MNP و ABC برابر است.

( مساوی بودن دو تا از مثلث ها را اثبات می كنیم و بقیه را به خودتان واگذار می كنیم:
در دو مثلث روبه رو داریم:

در ضمن: ( ضلع مشترك) NP= NP
پس دو مثلث MNP=NPB به حالت تساوی ( زض ز) با هم برابرند)

می توان از روشهای دیگری برای اثبات استفاده كرد:
1-یعنی می توان رئوس مثلثABC به دست آورد و از رابطه زیر مساحت هر دو مثلث را محاسبه كرد و به نتیجه ی مساوی بودن دو مثلث ABC=MNP رسید:

2-یا می توان گفت: چون تمام اضلاع مثلثMNP نصف اضلاع مثلثABC هستند(چرا؟) پس مقدار ارتفاع مثلثMNP نیز نصف ارتفاع مثلثABC می شود . یعنی مساحت4/1 مساحت مثلثABC می شود .