مقدمات مثلثات
یکی از دلایل پیدایش مثلثات علاقه دانشمندان به علم ستاره شناسی بوده است. در این مطالعات،دانشمندان متوجه یک ویژگی خیلی جالب در مثلث قائم‌الزاویه شدند. و آن این بود که صرف نظر از اندازه ضلع مثلث های قائم الزاویه، نسبت بعضی اضلاع به هم در این مثلث ها ثابت است و فقط به اندازه زاویه بستگی دارد.
امیدواریم دبیران محترم بتوانند از این طرح درس در بیان و انتقال مفاهیم اولیه مثلثات به دانش آموزان بهره ببرنند.
موضوع
مثلثات
اهداف کلی
1- بیان نسبت های مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه
2-آشنایی با دایره مثلثاتی
3- تبدیل درجه و رادیان به یکدیگر
4- محاسبه نبت های مثلثاتی در ربع های مختلف دایره مثلثاتی
اهداف پیش بینی شده
پیش بینی می شود دانش آموزان بتوانند:
1-نسبت های مثلثاتی در یک مثلث قائم الزاویه را محاسبه کنند
2-به طور کامل به دایره مثلثاتی مسلط باشند
3- به راحتی بتوانند درجه را به رادیان و برعکس تبدیل کنند.
4- بتوانند نسبت مثلثاتی یک زاویه بزرگ را به نسبت های مثلثاتی زاویه حاده تبدیل کنند
نکات آموزشی و تدریس
در ادامه توضیحات لازم درباره درس مثلثات ارائه شده است ولی جا دارد نکته ای مطرح شود.گاهی لازم است برخی زاویه ها را طوری تبدیل کنیم تا بتوانیم از نسبت مثلثاتی زاویه حاده در ربع اول استفاده کنیم مثلا برای محاسبه sin (13π/6 )
کافی ست مضربی از 6 را در صورت ایجاد کنیم یعنی صورت را به صورت 12π+π بنویسیم در بخش های بعدی در این مورد بیشتر توضیح داده ایم.
ارائه درس
در صورت یکسان بودن زوایای مثلث‌های قائم‌الزاویه، برخی نسبت‌ها همواره برابرند.
کسینوس
دوشکل زیر را در نظر بگیرید:
در این دو مثلث نسبت ضلع مجاور زاویه ۶۰ درجه به وتر برابر عدد ½ می باشد.
در واقع در هر مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مجاور زاویه ۶۰ درجه به وتر ،یکسان است.به عبارت دیگر شما می‌توانید هر چندتا مثلث قائم‌الزاویه رسم کنید که یکی از زوایای آن ۶۰ درجه باشد. سپس ضلع مجاور زاویه ۶۰ درجه و وتر را اندازه بگیرید. نسبت این دو ضلع را هم حساب کنید. خواهید دید که همواره این نسبت ثابت است وبرابر عدد ½ می باشد.
کسینوس زاویه Ɵ در هر مثلث قائم الزاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور به زاویه Ɵ به وتر در یک مثلث قائم‌الزاویه.و آن را با cosƟ نشان می دهند.
(*)
cosƟ=b/c
سینوس
در مثلث قائم الزاویه بخش قبل، نسبت ضلع مقابل زاویه 60 درجه به وتر در هر دو یکسان است.پس زمان آن رسیده تا یکی دیگر ازنسبت های مثلثاتی را تعریف کنیم به نام سینوس یک زاویه که برابر است با ضلع مقابل آن زاویه به وتر مثلث.
می‌توانید هر چندتا مثلث قائم‌الزاویه رسم کنید که یکی از زوایای آن 60 درجه باشد. سپس ضلع روبروی زاویه 60 درجه و وتر را اندازه بگیرید. نسبت این دو ضلع را هم حساب کنید. خواهید دید که همواره این نسبت ثابت است.
سینوس زاویه Ɵبرابر است با نسبت ضلع مقابل به زاویه Ɵ به وتر در یک مثلث قائم‌الزاویه.سینوس زاویه تتا را با نماد sinƟ نمایش می‌دهند.در شکل (*) داریم:
sin Ɵ=a/c
تانژانت
تانژانت زاویه Ɵ برابر است با نسبت ضلع مقابل به زاویه Ɵ به ضلع مجاور همان زاویه در یک مثلث قائم‌الزاویه.تانژانت زاویه تتا را با نماد tanƟ نمایش می‌دهند.
با توجه به دو مثلث متشابه بخش قبل در هر دو مثلث قائم‌الزاویه، نسبت ضلع مقابل به مجاور زاویه ۶۰ درجه، برابر است. به این نسبت، تانژانت می‌گویند.
در شکل(*) داریم:
tanƟ=a/b
کتانژانت
کتانژانت زاویه Ɵ برابر است با نسبت ضلع مجاور به زاویه Ɵ به ضلع مقابل همان زاویه در یک مثلث قائم‌الزاویه.و بانماد cotƟ نشان می دهند.در شکل(*) داریم:
cotƟ=b/a
دایره مثلثاتی
دایره مثلثاتی یکی از بهترین راه‌ها برای درک مفهوم نسبتهای مثلثاتی و حفظ کردن روابط بین آنهاست. اگر به دایره مثلثاتی و نکات آن مسلط باشیم، کارمان در حل معادلات مثلثاتی و تبدیل زوایا بسیار راحت خواهد شد.
دایره مثلثاتی، دایره‌ای به شعاع یک است که مرکز آن بر روی مرکز محورهای مختصات قرار دارد. در این محور مختصات، محور افقی را محور cos و محور عمودی را محور sin در نظر می گیریم.
یک مثلث قائم‌الزاویه در دایره رسم می کنیم، طوریکه زاویه ۹۰ درجه این مثلث بر روی محور xها و یکی از رئوس آن روی محیط دایره واقع شده است.
درست مثل شکل زیر:
همانطور که می‌بینید، مقادیر سینوس روی محور yها و مقادیر کسینوس روی محور xها،تصویر می شود.
1) از تعریف مشخص است که هر گاه کسینوس صفر باشد تابع تانژانت تعریف نشده است و هرگاه سینوس صفر باشند، تابع کتانژانت تعریف نشده است. مثلا سینوس در 0درجه صفر است پس تابع تانژانت در 0 درجه تعریف نشده است.
2) با توجه به دایره مثلثاتی، علامت سینوس همواره با علامت y برابر است و علامت کسینوس همواره با علامت x برابر است و علامت تانژانت و کتانژانت نیز از ضرب علامت سینوس و کسینوس بدست می آید.
3) مقدار کسینوس و سینوس حداکثر ۱+ و حداقل ۱- می‌شود. یعنی مقدار خروجی تابع کسینوس و سینوس یا به عبارتی برد آن بازه [1,1-] می باشد.
رادیان
رادیان واحدی برای اندازه‌گیری زاویه می باشد که متناسب است با کمان روبرو به زاویه. البته شما با مفهوم درجه آشنایی بیشتری دارید و می دانید یک دایره کامل برابر ۳۶۰ درجه، نیم دایره برابر ۱۸۰ درجه و ربع دایره برابر با ۹۰ درجه است.
هم چنین می دانیم فرمول محیط یک دایره برابر است با 2πr اما در دایره مثلثاتی محیط ، برابر است با 2πچون شعاع برابر یک است .یعنی یه دور کامل در دایره معادل 360درجه به اندازه 2πکمان دایره طی شده است یا برابر 2π رادیان می باشد.پش نصف دایره که معادل180 است برابر πرادیان می باشد.
فرمول تبدیل رادیان و درجه به هم:
نکته:شما می‌توانید تا هر چقدر به گردش روی محیط دایره ادامه دهید و مقدار رادیان را زیاد(حتی بیشتر از2π) کنید.
در شکل زیر برخی از زوایای معروف برحسب درجه و رادیان بیان شده اند.
نسبت های مثلثاتی زوایای معروف
برای راحتی محاسبات مثلثاتی لازم است برخی از نسبت های بعضی زوایا حفظ شوند:
مثال: حاصل عبارات زیر را بدست آورید:
روابط مثلثاتی مربوط به Ɵ
با داشتن نسبت های مثلثاتی زاویه در ربع اول می توان بقیه نسبتهای مثلثاتی زیر را در ربع های دیگر بدست آورد:
1) نسبت های مثلثاتی ( Ɵ-) :
می دانیم اگر در جهت خلاف عقربه های ساعت حرکت کنیم علامت زاویه مثبت، و اگر در جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم علامت زاویه منفی می شود. زاویه Ɵ- در ربع چهارم قرار دارد پس سینوس آن منفی است و کسینوس مثبت. تانژانت و کتانژانت هم منفی می‌شوند. پس:
در حالت π-Ɵ در ربع دوم قرار داریم و در π+Ɵ در ربع سوم قرار داریم:
3) نسبت مثلثاتی2π-Ɵ:
در این حالت نیز در ربع چهارم قرار داریم و مانند شماره1 می باشد.
نکته:در نسبت های π)+Ɵزوج) مانند نسبت های Ɵعمل می کنیم .
نکته:در نسبت های π)+Ɵفرد) مانند نسبت های π+Ɵعمل می کنیم . در حالت تفریق هم به طور مشابه است.
4) در نسبت های مثلثاتی به شکل زیر
جنس نسبت، عوض می شود علاوه بر اینکه ممکن است علامت نیز عوض شود (برای تعیین علامت باید، باید ببینیم زاویه در چه ربعی قرار دارد) .یعنی مثلا اگر sin باشد می شود cos و اگر tan باشد می شود cot.
مثال: حاصل را بدست آورید:
تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان
