به نام خدا

با سلام و عرض خسته نباشید خدمت دانش آموزان گرامی انجمن

بعد از پرداختن به مباحث هندسه سال دوم و سوم دبیرستان به طور مختصر ،این بار کمی به معرفی هندسه تحلیلی می پردازیم.

 دوستانی که بر هندسه تحلیلی تسلط کافی دارند میتوانند در همین بحث خود را معرفی کنند تا با همکاری آن ها بحث خوب و تخصصی را بتوانیم به عمل بیاوریم.

منتظر همکاری شما عزیزان هستیم.

منتظر معرفی مقدمات باشید.

یا حق. 

مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی که در صفحه داشتند طول و جهت آنهاست.

طول برداری مانند  با دوبار استفاده از قضیه فیثاغورث بدست می‌آید. و جهت آنها از تقسیم مولفه‌های برداری چون A بر اندازه‌اش بدست می‌آید. 

برای بدست آوردن معادلات حرکت پرتابه فرض می‌کنیم پرتابه مانند ذره‌ای رفتار می‌کند که در صفحه مختصات قائم حرکت می‌کند و تنها نیروی موثر بر آن در ضمن حرکتش ، نیروی ثابت گرانش است که همواره روبه پایین است. در عمل هیچ یک از این فرضیات برقرار نیست زمین در زیر پرتابه می‌چرخد هوا نیروی اصطکاکی ایجاد می‌کند که به سرعت و ارتفاع پرتابه بستگی دارد. برای توصیف حرکت در یک دستگاه مختصات مشخص فرض می‌کنیم پرتابه در لحظه  از مبدا صفحه xy پرتاب می‌شود. همچنین فرض می‌کنیم پرتابه در ربع اول حرکت می‌کند و مقدار سرعت اولیه  است و بردار سرعت با محور xهای مثبت زاویه  می‌سازد. در هر لحظه t ‌،  ، مکان پرتابه با جفت مختصات . مشخص می‌شود. بنابراین پس از ساده‌ کردن یک سری از معادلات به روابط زیر دست می‌یابیم که مکان ذره t ثانیه پس از پرتاب برای ما مشخص می‌سازد: 

مسیر ایده‌آل یک سهمیاست. 

اغلب ادعا می‌شود که مسیر حرکت آبی که از یک لوله بیرون می‌جهد یک سهمی است اما اگر به دقت این مسیر بنگریم می‌بینیم که هوا سقوط آب را کند می‌کند و حرکت آن رو به جلو آنقدر کند است که از انتهای سقوطش از شکل سهموی خارج می‌شود. ادعایی که در مورد سهموی بودن حرکت می‌شود فقط در مورد پرتابه‌های ایده‌آل واقعا درست است. این مطلب را می‌توان از روابط که در بالا برای y ,x ذکر شد بدست آورد. بدین ترتنیب که هرگاه مقدار t را از معادله x بدست آوردیم و آن را در معادله y جاگذاری کنیم معادله دکارتی بدست آمده نسبت به x از درجه دوم و نسبت به y از درجه اول است پس نمودارش یک سهمی است. 

هندسه تحلیلی شامل مباحثی چون بردارها ، معادلات حرکت پرتابه ، معادلات خط ، ضرب عددی و برداری، بردارها. مقاطع مخروطی که در هندسه یونان پا گرفت و امروزه با معادلات درجه دو بعنوان منحنی‌هایی در صفحه مختصات توصیف می‌شوند یونانیان زمان افلاطون این منحنی‌ها را فصل مشترک یک صفحه با یک مخروط می‌گرفتند که نام مقطع مخروطی از آن ناشی شده است. نکته‌ای که حائز اهمیت اشاره به این مسئله است که در مطالعات هندسه تحلیلی مختصاتی دکارتیاز اهمیت فوق‌العاده‌ای دارد زیرا توسط این مختصات ما می‌توانیم طول و عرض و ارتفاع اجسامی را که می‌بینیم به صفحه منتقل کرده و درباره آنها براحتی به مطالعه پردازیم. 

تا این جا با مقدمه ای از هندسه تحلیلی آشنا شدید 

آشنایی با بردار ها: 

برخی از کمیات که اندازه می‌گیریم با اندازه‌شان کاملا مشخص می‌شوند مانند جرم ، طول ، زمان. اما همانطور که می‌دانیم توصیف یک نیرو ، تغییر مکان و سرعت تنها با اندازه مشخص نمی‌شوند بلکه برای درک صحیحی از آنها باید جهت آنها نیز برای ما مشخص باشند کمیاتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نیز می‌باشند معمولا با پیکانهایی به نمایش درمی‌آیند که به جهت اثر کمیت اشاره می‌کنند و طول‌هایشان به اندازه اثر آنها برحسب واحد مشخص اشاره می‌کنند. به این کمیت بردار می‌گوییم. 

یک بردار واقع در صفحه عبارت است از پاره‌خطی جهتدار از آنجا که بردار اساسا از طول و جهت تشکیل می‌شود و بردار را همسنگ و یا حتی یکی می‌نامیم هرگاه طول و جهتشان یکی باشد. 

بردارهای نوین امروزی ریشه در کواترنیونها دارند. کواترنیونها تعمیمی هستند از جفت  به چهارتایی مرتب . جبر کواترنیونها را ویلیام همیلتن ریاضیدان ایرلندی (1805-1865) ابداع کرد. اما مهندسان علی‌الخصوص اولیور هویسایدآنالیز برداری را رواج دادند. برخی از فیزیکدانان از جمله شاخص‌ترین آنها جیمز کلارک ماکسول، از هر دو مضمون کواترنیونها و بردارها بهره بردند. سرانجام مقارن با تحویل قرن ، آنالیز برداری گیبس و هوسیاید غلبه کرد. مهندسان از جمله نخستین معتقدان، فیزیکدانان از نخستین گروندگان و ریاضیدانان آخرین پذیرندگان این باب از ریاضیات بودند. 

معادلات پارامتری حرکت ایده‌آل پرتابه:

 برای بدست آوردن معادلات حرکت پرتابه فرض می‌کنیم پرتابه مانند ذره‌ای رفتار می‌کند که در صفحه مختصات قائم حرکت می‌کند و تنها نیروی موثر بر آن در ضمن حرکتش ، نیروی ثابت گرانش است که همواره روبه پایین است. در عمل هیچ یک از این فرضیات برقرار نیست زمین در زیر پرتابه می‌چرخد هوا نیروی اصطکاکی ایجاد می‌کند که به سرعت و ارتفاع پرتابه بستگی دارد. برای توصیف حرکت در یک دستگاه مختصات مشخص فرض می‌کنیم پرتابه در لحظه  از مبدا صفحه xy پرتاب می‌شود. همچنین فرض می‌کنیم پرتابه در ربع اول حرکت می‌کند و مقدار سرعت اولیه  است و بردار سرعت با محور xهای مثبت زاویه  می‌سازد. در هر لحظه t ‌،  ، مکان پرتابه با جفت مختصات . مشخص می‌شود. بنابراین پس از ساده‌ کردن یک سری از معادلات به روابط زیر دست می‌یابیم که مکان ذره t ثانیه پس از پرتاب برای ما مشخص می‌سازد: 

مسیر ایده‌آل یک سهمی است. 

اغلب ادعا می‌شود که مسیر حرکت آبی که از یک لوله بیرون می‌جهد یک سهمی است اما اگر به دقت این مسیر بنگریم می‌بینیم که هوا سقوط آب را کند می‌کند و حرکت آن رو به جلو آنقدر کند است که از انتهای سقوطش از شکل سهموی خارج می‌شود. ادعایی که در مورد سهموی بودن حرکت می‌شود فقط در مورد پرتابه‌های ایده‌آل واقعا درست است. این مطلب را می‌توان از روابط که در بالا برای y ,x ذکر شد بدست آورد. بدین ترتنیب که هرگاه مقدار t را از معادله x بدست آوردیم و آن را در معادله y جاگذاری کنیم معادله دکارتی بدست آمده نسبت به x از درجه دوم و نسبت به y از درجه اول است پس نمودارش یک سهمی است. 

سلام
خیلی ممنونننن
همیشه فکر میکردم بچه های ریاضی با گرایش هندسه تحلیلی چه درسهایی میخونن
جواب سوالمو گرفتم
مرسی

فاصله در فضا

گاهی لازم است که فاصله بین دو نقطه مثل  در فضا مشخص باشد برای این کار طول  را می‌یابیم که در اینصورت داریم:

وسط پاره خط

مختصات نقطه وسط M پاره‌خطی که دو نقطه  را بهم وصل می‌کند متوسط مختصات  هستند. برای پی‌بردن به دلیل این مطلب کافی است توجه کنیم که این نقطه مختصات مولفه عددی برداری است که مبدا را به M وصل می‌کند که به این ترتیب تمام مولفه‌های M از نصف مجموع مولفه‌های نظیر به نظیر  بدست می‌آید. 

زوایای بین خم‌ها

زوایای بین دو خم مشتق‌پذیر در یک نقطه تقاطع آنها عبارت‌اند از زوایای بین خط‌های راس بر آنها در آن نقطه. 

معادله‌های خط و پاره‌خط:

فرض می‌کنیم L خطی باشد در فضا که از نقطه  بگذرد و موازی با بردار  باشد. پس L مجموعه نقاطی است مانند  به قسمی که بردار  با V موازی است یعنی P بر L واقع است اگر و تنها اگر به ازای عددی مانند t داشته باشیم:  این معادلات را پس از ساده ‌کردن بصورت معادلات پارامتری متعارف خط L درست می‌یابیم که عبارت‌اند از: 

وقتی پارامتر t از  تا  افزایش می‌یابد نقطه  دقیقا یکبار خط را می‌پیماید. وقتی t بازه بسته  را می‌پیماید، P از نقطه‌ای که در آن t=a تا نقطه‌ای که در آن t=b بر روی یک پاره‌خط جابجا می‌شود. 

در رابطه با هندسه تحلیلی و خط جبری پیش دانشگاهی هم مطلب بزارید

Sadegh7MSM
گرامی،بخشی از این بحث مربوط به هندسه تحلیلی ژیش دانشگاهی یا همان سال چهارم می باشد.

دوستان عزیز بد نیست به این لینک مراجعه کنید.http://elearning.roshd.ir/newsamin/loadtree.asp?fyear=4&fkind=13

بردارها :
نقطه درIR :به یاد دارید که بین اعداد حقیقی و مجموعه نقاط روی یک خط راست وجود دارد ،دیدهایم که یک نقطه این خط را از مبدأ نامیدیم ،اعداد مثبت سمت راست و اعدا منفی سمت چپ مبدأ قرار دارند .
نقطه درIR2 :می دانیم که بین نقاط صفحه و مجموعه نقاط زوج مرتب های متناظر با آن از اعداد حقیقی وجود دارد در واقع با داشتن در محور عمود بر هم میتوان هر زوج مرتب را که نشان دهنده ییک نقطه است را نمایش داد . نمایش ریاضی زوج مرتب ها به صورت زیر است :