آيا جوليوس سزار عدد است ؟؟!!؟

  آيا واقعاً ممكن است جوليوس سزار، امپراتور روم، عدد باشد؟ يعني آيا مي شود كه سزار محمول خواصي باشد كه اصالتاً از آن اعداد است (مثلاً زوج بودن، فرد بودن، اول بودن و غيره)؟ آيا ممكن است شيئي انضمامي مثل سزار يا هر شخص ديگري عدد باشد؟ آيا ممكن است سزار مكاني را در دنباله اعداد طبيعي يا حقيقي اشغال كند؟ آيا اصلاً اين پرسش ها معنايي دارند؟ يعني آيا ارزش صدقي (صدق يا كذب) دارند؟ يا بالكل بي معنا هستند؟ هر نظريه اي در فلسفه رياضي كه نتواند به اين پرسش ها پاسخ دهد با «مشكل جوليوس سزار» روبه رو است.

ريشه اين سوال هاي نسبتاً عجيب و غريب برمي گردد به گوتلوب فرگه. فرگه در شاهكارش، بنيادهاي حساب، سعي مي كند كه حساب را به منطق تحويل دهد، و كار خود را با واقعيت بسيار ملموسي در عمل شمارش شروع مي كند.

 
اصل هيوم (HP) عدد مفهوم F (يعني تعداد شيءهايي كه ذيل مفهوم F درمي آين آيا واقعاً ممكن است جوليوس سزار، امپراتور روم، عدد باشد؟ يعني آيا مي شود كه سزار محمول خواصي باشد كه اصالتاً از آن اعداد است (مثلاً زوج بودن، فرد بودن، اول بودن و غيره)؟ آيا ممكن است شيئي انضمامي مثل سزار يا هر شخص ديگري عدد باشد؟ آيا ممكن است سزار مكاني را در دنباله اعداد طبيعي يا حقيقي اشغال كند؟ آيا اصلاً اين پرسش ها معنايي دارند؟ يعني آيا ارزش صدقي (صدق يا كذب) دارند؟ يا بالكل بي معنا هستند؟ هر نظريه اي در فلسفه رياضي كه نتواند به اين پرسش ها پاسخ دهد با «مشكل جوليوس سزار» روبه رو است.

 ريشه اين سوال هاي نسبتاً عجيب و غريب برمي گردد به گوتلوب فرگه. فرگه در شاهكارش، بنيادهاي حساب، سعي مي كند كه حساب را به منطق تحويل دهد، و كار خود را با واقعيت بسيار ملموسي در عمل شمارش شروع مي كند؛

 اصل هيوم (HP) عدد مفهوم F (يعني تعداد شيءهايي كه ذيل مفهوم F درمي آيند) مساوي است با عدد مفهوم G اگر و تنها اگر تناظري يك به يك بين شيءهاي دو مفهوم F و G برقرار باشد.

 HP در واقع معياري براي اينهماني با تفاوت اعداد به دست مي دهد، ولي به هيچ وجه نشان نمي دهد كه اعداد خودشان چه اشيايي هستند. به عبارتي، HP چيزي در مورد تعيين ارزش صدق جمله اي به شكل «عدد مفهوم F = q» (كه q مي تواند هر ثابتي مثل «جوليوس سزار» باشد) به دست نمي دهد. به نظر فرگه، جملاتي مثل HP نمي توانند اينهماني اصيل و دقيق اعداد را نشان دهند. يعني اگر قرار است اينهماني دقيق را به دست دهيم، هم بايد ارزش صدق «عدد F = عدد G» را به دست دهيم و هم ارزش صدق «عدد F = q». و HP فقط ارزش صدق عبارات اول را تعيين مي كند. به اين دليل بود كه فرگه HP را رها كرد و اصل ديگري را به جاي آن نشاند و به پارادوكس راسل اصابت كرد!

 در اين چند سطر، خيلي تند و خلاصه، صرفاً به بعضي از مشكلات نهفته در دل اين مساله اشاره مي كنيم؛

 ما به كمك عقل سليم (common sense) مي دانيم كه سزار عدد نيست و حتي ممكن نيست عدد باشد، ولي اين قطعاً چيزي نيست كه HP به ما مي گويد. اگر بناست ضوابط كافي براي اينهماني اعداد را به دست دهيم، بايد فاعل شناسايي را كه اعداد را مورد شناسايي قرار مي دهد، قادر سازد كه اعداد را از همه انواع ديگر اشيا متمايز كند (discriminate). اما توسل به معيار توانايي تمايز گذاشتن در گرو حل مسائل ديگري دارد؛ كودك مي تواند از طريق تناظر يك به يك به اعداد ارجاع دهد بي آنكه توانايي كاملي براي تمايز گذاشتن ميان اعداد و اشخاص (آنطور كه فرگه داشت) داشته باشد. پس چه بسا HP توانايي اوليه براي ارجاع و معرفي اعداد را به دست دهد. ولي اين مساله به هيچ وجه قطعي نيست. چون به هر حال، هر توانايي اوليه اي براي ارجاع به اعداد و استفاده از آنها در انديشه (thought) و كلام (talk) مستلزم يك درك بنيادين از نوع يا جنس شيءهاي مورد ارجاع يا اشاره دارد. پس شايد به اين راحتي نتوان ادعا كرد كسي كه صرفاًً HP را آموخته مي تواند در مورد اعداد بينديشد يا راجع به آنها صحبت كند؛ چون HP نوع اشياي مورد بحث را مشخص نمي كند (نمي گويد سزار هستند يا مجموعه يا...) از طرفي، فرض كنيم به كودكي صرفاً HP آموخته شده، و كودك، مسلح به تنها همين سلاح، قضاياي بنيادين حساب را مي آموزد و ثابت مي كند و در امتحانات نمرات خوبي هم مي گيرد (چنين چيزي كاملاً ممكن است؛ نگاه كنيد به (Wright۱۹۸۳) و (Boolos۱۹۸۷). اگر او ندانست كه سزار عدد است يا نه ( كه نمي داند)، بايد نتيجه بگيريم كه نمرات او حقه بازي اند؟ يا به صدق قضاياي حساب معرفت ندارد؟ بنابراين، آن كودك توانايي هاي كافي اي براي قضاوت در مورد نسبت هاي عددي دارد ولي انگار فاقد نوعي معرفت متافيزيكي است. پس اجازه دهيد كه كمي راجع به بعد متافيزيكي مساله جوليوس سزار صحبت كنيم؛ در اينجا بايد بگوييم كه چرا محال است كه انواع كاملاً متفاوتي از شيء ها (اعداد و اشخاص) همپوشاني كنند.

 مي توانيم دلايلي بياوريم؛ اعداد انتزاعي اند و اشخاص انضمامي. يك راه اثبات اين خاصيت براي اعداد اين است كه بگوييم اعداد بي نهايت اند و اشخاص متناهي. ولي تنها نتيجه اي كه از اين حرف مي گيريم اين است كه همه اعداد نمي توانند انضمامي باشند، ولي چه بسا بعضي از اعداد انضمامي باشند. استدلال دوم براي اثبات «+» اين است كه بگوييم صدق هاي رياضي صدق هايي ضروري اند، و صدق هاي ضروري مستلزم موجودات ضروري اند. از آنجا كه اشخاص ً انضمامي، از جمله سزار، ممكن هستند، پس شيءهايي كه صدق هاي رياضيات بر آنها دلالت مي كنند ممكن نيست انضمامي باشند. اگر قرار است اين استدلال را به كرسي بنشانيم، بايد ابتدا اين ادعا را اثبات كنيم كه اشياي رياضي، به قول كريپكي، دلالتگر ثابت (rigid designator) اند. پس سوال اصلي «+» اين است كه چرا شيءهاي نوع K۱ نمي توانند خواص شيءهاي نوع K۲ را داشته باشند؟ و اين ما را بلافاصله به مساله سنتي متافيزيك، يعني جوهر(substance)، مي كشاند. و اصلاً معلوم نيست كه دست و پنجه نرم كردن با اين مساله غم انگيزتر از تلاش براي پاسخ به پرسش هاي اول مقاله نباشد.