هندسه نااقليدسي

هندسه ي اقليدسي، همان هندسه اي است كه شما در دبيرستان و راهنمايي خوانده ايد يا مي خوانيد. هندسه اي است كه بيش تر براي تجسم جهان مادي به كار مي بريم. اين هندسه از كتابي به نام اصول به دست ما رسيده كه توسط اقليدس ، رياضي دان يوناني ، در حدود ۳۰۰ سال پيش از ميلاد مسيح نگاشته شده است . تصوري كه ما بر اساس اين هندسه ازجهان مادي پيدا كرده ايم تا حدي زياد توسط آيزاك نيوتن در اواخر سده ي هفدهم ترسيم شده است. اقليدس شاگرد مكتب افلاطون بود.درحدود ۳۰۰ سال پيش از ميلاد، روش قاطع هندسه ي يوناني و نگره ي اعداد را دراصول سيزده جلديش منتشر كرد. با تنظيم اين شاهكار، اقليدس تجربه وكارهاي مهم پيشينيان خود را در سده هاي جلوتر گردآوري كرد.كار عظيم اقيدس اين بودكه چند اصل ساده ، چند حكم كه بي نياز به توجيهي پذيرفتني بودند را دستچين كرد واز آن ها ۴۶۵گزاره نتيجه گرفت كه بسياري از آن ها پيچيده بودند و به طور شهود ي بديهي نبودند وتمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند .

 يك دليل زيبايي اصول اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجه گرفت .درافسانه آمده است كه يكي از آموزندگان مبتدي هندسه از اقليدس پرسيد : ( از آموختن اين مطالب چه عايد من مي شود ؟ ) اقليدس غلامش را خواند وگفت ((سكه اي به او بده ، چون كه مي خواهد از آن چه كه فرا مي گيرد، چيزي عايدش شود )).

 حال دراين جا به بيان پنج اصل اقليدس مي پردازيم .

 ـ اصل اول اقليدس : به ازاي هر نقطه ي p وهر نقطه ي Q كه با p مساوي نباشد، خط يكتايي وجود داردكه برp و Q مي گذرد.

 اين اصل اغلب به صورت غير رسمي چنين بيان مي شود : "هر دو نقطه يك خط منحصر به فرد را مشخص مي سازند ."

 ـ اصل دوم اقليدس : به ازاي هر پاره خط AB وهر پاره خط CD نقطه ي منحصر به فردي چون E وجود دارد، چنان چه؛ B ميان A وE واقع است وپاره خط CD با پاره خط BE قابل انطباق است .

 اين اصل اغلب به طور غير رسمي چنين بيان مي شود : "هر پاره خط AB را مي توان به اندازه ي پاره خط BE ، كه با پاره خط CD قابل انطباق است امتداد داد ."

 ـ اصل سوم اقليدس : به ازاي هر نقطه ي A كه با O مساوي نباشد، دايره اي به مركز O وشعاع OA وجود دارد .

 ـ اصل چهارم اقليدس : همه ي زاوياي قائمه باهم قابل انطباق هستند.

چهار اصل اول اقليدس هميشه به راحتي مورد قبول رياضي دانان بوده است. ولي اصل پنجم ( اصل توازي ) تا سده ي نوزدهم موجب جدل و چون و چرا بوده است درواقع چنان چه كه بعداً خواهيد ديد توجه به صورت هاي مختلف اصل توازي اقليدس است كه موجب بسط و توسعه ي هندسه هاي نااقليدسي شده است .

دراين جا ما اصل توازي اقليدس را بيان مي كنيم ( به خاطر دشواري هايي كه وجود دارد ) وبه جاي آن اصل پلي فر را كه معادل اصل توازي اقليدس است بيان مي كنيم .

ـ اصل پنجم اقليدس ( اصل پلي فر يا اصل توازي ) : به ازاي هر خط L وهر نقطه ي p غير واقع برآن، تنها يك خط مانند m وجود دارد چنان چه از p مي گذرد و با L موازي است .

اصل پنجم با هر چهار اصل ديگر متفاوت است . بدين معني كه ما نمي توانيم به طور تجربي تحقيق كنيم كه آيا دو خط هم ديگر را قطع مي كنند يانه . زيرا كه ما فقط پاره خط ها را مي توانيم رسم كنيم نه خطها را . مي توانيم پاره خط ها را بيش از بيش امتداد دهيم تا ببينيم كه آيا هم ديگر قطع مي كنند يا نه، ولي نمي توانيم آن ها را تا بي نهايت امتداد دهيم .

رياضي دانان درطول دو هزار سال تلاش كردند تا آن را از چهار اصل ديگر نتيجه بگيرند و يا اصل ديگري را كه به خودي خود بداهت بيش تري داشته باشد، جانشين آن سازند. همه ي تلاش ها براي اين كه آن را از چهار اصل ديگر نتيجه بگيرند به ناكامي انجاميد . رياضي دانان به تدريج نااميد مي شدند . ولي در اوايل سده ي نوزدهم دو هندسه ي ديگري پيشنهاد شد . يكي هندسه ي هذلولوي ( از كلمه ي يوناني هيپر بالئين به معني افزايش يافتن كه در آن فاصله ي ميان نيم خط ها افزايش مي يابد و ديگري هندسه ي بيضوي (از كلمه ي يوناني اليپن به معني كوتاه شدن) كه در اين ، فاصله رفته رفته كم مي شود و سرانجام نيم خط ها هم ديگر را مي برند (قطع مي كنند). اين هندسه هاي نا اقليدسي بعد ها توسط ك. ف . گاؤس و گ. ف. ب ريمان در قالب هندسه ي كلي تري بسط داده شدند.

ما سعي مي كنيم بيش تر بحث مان در حوزه ي هذلولوي باشد، زيرا هندسه ي هذلولوي تنها به تغيير يكي از اصول اقليدس نياز دارد و مي تواند به همان آساني هندسه ي دبيرستاني فهميد ه شود. ولي در مورد هندسه هاي ديگر، مثل هندسه ي بيضوي ، بحث خيلي مشكل تر مي باشد و درك آن نياز به دانستن مفاهيم زيادي دارد كه از حوصله ي بحث ما خارج است.

ـ قضيه ي كلي هذلولوي: درهندسه ي هذلولوي به ازاي هر خط L و هر نقطه ي p غير واقع بر L لااقل دو خط موازي با L ازp مي گذرند .دانش آموزان مي توانند اين قضيه را با اصل پنجم اقليدس كه درصفحات قبل آمده است مقايسه نمايند وتفاوت هاي اين دو هندسه را به وضوح مشاهده كنند .

ـ قضيه : درهندسه ي هذلولوي مستطيل وجود ندارد ومجموع زواياي همه ي مثلث ها از است .

ـ فرع: درهندسه ي هذلولوي همه ي چهار ضلعي هاي كوژ، مجموع زوايايي كم تر از دارند .