• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
  • تعداد بازديد :
  • 4506
  • چهارشنبه 1386/3/30 ساعت 15:14
  • تاريخ :

اگر می خواهید کارآگاه شوید، ریاضی بخوانید.

اگر می خواهید کارآگاه شوید، ریاضی بخوانید

هدف:

آشنایی با گزاره های جبری وترکیبات فصلی و عطفی و شرطی

 

یکی از سؤالاتی که همیشه برای دانش آموزان پیش می آید:

درس هایی که می خوانیم به چه درد می خورد؟؟!

اگر می خواهید کارآگاه شوید، ریاضی بخوانید

 

چرا باید انواع واکنش ها را در شیمی بخوانیم، انواع پیوندها، الکترون، پروتون، جدول مندلیف و

 

اگر می خواهید کارآگاه شوید، ریاضی بخوانید

 

رسم نمودارها، مجانب ها، حد، مشتق، گزاره ها، حل نامعادلات و

اگر می خواهید کارآگاه شوید، ریاضی بخوانید

مغناطیس، الکتریسیته، q=ne، قانون اهم و

اگر می خواهید کارآگاه شوید، ریاضی بخوانید

 

البته پاسخ به این سؤالات در حیطه و هدف این مقاله نیست. ولی اگر دانش آموزان به چند سال قبل دقت کنند، کاربردهای کوتاه مدت آن را دیده اند و کاربردهای بلندمدت آنها را در ادامه تحصیل دانشگاه خواهند دید. البته با مطالعه ی بیشتر کتب غیر درسی می توانند کاربردهای کوتاه مدت پیدا کنند.

به سؤال زیر دقت کنید و سعی کنید آن را حل کنید. این سؤال برگرفته از یک کتاب ریاضی می باشد:

«بران، جان و اسمیت به سرقت از بانک متهم شده اند، دزدان بانک با ماشینی که منتظر آنها بوده است از حمل گریخته اند، در بازجویی، این اطلاعات به دست آمده است:

 

سرقت

 

بران گفته است: دزدان با یک بیوک آبی فرار کرده اند.

جان گفته است: ماشین شورلت مشکی بوده است.

و اسمیت گفته است: ماشین مزبور فورد بوده و به هیچ وجه رنگ آن آبی نبوده است.

دادگاه در بررسی به این نتیجه رسیده است که آنها برای سر در گم کردن دادگاه، فقط مدل یا رنگ آن را درست گفته اند. ماشین مزبور چه رنگ و چه مدلی داشته است؟

مسئله ی بالا را حل کنید.

در صورت حل یا عدم حل سؤال توضیحات زیر را به دقت بخوانید. سپس سعی کنید مسئله را حل کنید.

گزاره: به هر جمله ی خبری اعم از درست و یا نادرست یک گزاره گویند.

 

ترکیب گزاره ها

الف-ترکیب عطفی: اگر دو گزاره ی p و q با لفظ «و» ترکیب شوند، آنگاه ترکیب آن دو گزاره را ترکیب عطفی گویند و آن را به صورت p qنمایش می دهند. بدیهی است ارزش گزاره ی حاصل از ترکیب عطفی دو گزاره p و q ارزش درستی داشته باشند.

به عنوان مثال ترکیب جملات زیر را در نظر بگیرید:

I- «هر مثلث سه ضلع دارد» و «شیراز مرکز استان فارس است.»

II- «هر مثلث سه ضلع دارد» و «تبریز مرکز استان فارس است.»

III- «هر مثلث چهار ضلع دارد» و «شیراز مرکز استان فارس است.»

IV- «هر مثلث چهار ضلع دارد» و «تبریز مرکز استان فارس است.»

بدیهی است که از چهار عبارت فوق فقط عبارت I صحیح است. پس جدول درستی ترکیب عطفی دو گزاره مطابق شکل مقابل است:

برای نشان دادن ارزشی یک گزاره از «د» به نشانه ی درست و از «ن» به نشانه ی نادرست استفاده می کنند.

 

 

جمله ی همیشه درست را با T و جمله ی همیشه غلط را با F نشان می دهند. پس با توجه به تعریف فوق خواهیم داشت:

نقیض یک گزاره، گزاره ای است که جمله ی خبری آن کاملاً با جمله ی خبری خود گزاره در تضاد باشد. پس اگر گزاره ای ارزش درستی داشته باشد نقیض آن نادرست بوده و برعکس اگر گزاره ای ارزش نادرستی داشته باشد نقیض آن ارزش درستی خواهد داشت. نقیض گزاره P را با ~p نمایش می دهند. پس:

‌ب- ترکیب فصلی: اگر گزاره p و q با لفظ «یا» ترکیب شوند آنگاه ترکیب آن دو گزاره را ترکیب فصلی گویند و آن را به صورت

 q p نمایش می دهند. ارزش گزاره ی حاصل از ترکیب فصلی دو گزاره ی p و q یعنی q p وقتی درست است که حداقل یکی از دو گزاره ی p و q درست باشند. به عنوان مثال اگر در جملات IV , III , II , I از مثال ترکیب عطفی، به جای لفظ «و» از لفظ «یا» استفاده کنیم، ارزش سه جمله ی اول صحیح و ارزش جلسه ی چهارم ناصحیح خواهد بود. پس جدول درستی ترکیب فصلی دو گزاره مطابق جدول مقابل است:

 

خواص ترکیب های عطفی و فصلی:

1-جابجایی: هر دو ترکیب مورد نظر دارای خاصیت جا به جایی می باشند یعنی:

2- شرکت پذیری: هر دو ترکیب مورد نظر دارای خاصیت شرکت پذیری نیز می باشند یعنی

3- پخشی: عمل بر روی و نیز عمل بر روی عمل دارای خاصیت پخشی است یعنی:

برای اثبات روابط فوق می توان از جدول درستی ارزش گزاره ها استفاده نمود. به عنوان مثال جدول مربوط به خاصیت پخشی عمل بر روی عمل به شکل زیر است:(با کلیک روی آن جدول را به صورت بزرگ مشاهده نمایید)

 

اگر می خواهید کارآگاه شوید، ریاضی بخوانید

 

همان طور که در جدول مشاهده می شود در تمامی حالات ممکن ارزشبا ارزشیکسان است.

4- قانون دمرگان. روابط زیر که به روابط دمرگان معروف هستند به سادگی از روی جدول قابل اثبات هستند.

 

 

‌5-قانون جذب:

ج- ترکیب شرطی: اگر دو گزاره p و q به صورت «اگر p آنگاه q» با هم ترکیب شده باشند، آنگاه ترکیب آن دو گزاره را ترکیب شرطی گویند و آن را به صورت نمایش می دهند. ارزش فقط وقتی نادرست است که گزاره p درست و گزاره q نادرست باشد. پس جدول درستی ارزش با توجه به درستی p و q به شکل مقابل می باشد:

 

 

با توجه به تعریف ترکیب شرطی دو گزاره p و q هم ارزی های زیر به دست می آیند:

 

راه حل سوال سرقت از بانک:

آیا توانستید مسأله را حل کنید. برای مقایسه ی جواب خود با پاسخ صحیح به راه حل زیر دقت کنید.

راه حل:

اگر:

A={رنگ ماشین آبی بوده است.} B={مدل ماشین بیوک است.}

C={رنگ ماشین مشکی است.} D={مدل ماشین شورلت است.} E={مدل ماشین فورد است.}

از آنجا که هر یک از متهمین در مورد رنگ و یا مدل ماشین، اظهار درستی داشته اند، بنابراین از بیان بران درستی گزاره A B استنتاج می شود. شهادت جان درستی گزاره C  D را تصدیق می کند. و اسمیت نیز درستی A" E را تأیید کرده است.

از آنجا که گزاره های (A V B) و (C V D) و ( A" V E) درست شد، ترکیب عطفی () آنها نیز درست خواهد بود:

اگر می خواهید کارآگاه شوید، ریاضی بخوانید.

طبق فرض مسأله و گزاره ها به آسانی استنباط می شود که هفت مؤلفه از هشت مؤلفه ی حاصل در عبارت بالا (به استثناء مؤلفه ی پنجم) نادرست می باشد.

زیرا ماشین نمی تواند آبی و مشکی باشد.

ماشین نمی تواند شورلت و فورد باشد. زیرازیرا

ماشین نمی تواند بیوک و شورلت باشد.

ماشین نمی تواند بیوک و فورد باشد.

بنابراین:

مدل ماشین بیوک است.

رنگ ماشین مشکی است.

رنگ ماشین آبی نیست.

در مبحث بالا که به منطق و گزاره ها معروف است در الکترونیک بسیار استفاده می شود. که توضیحات آن از حوصله ی این مقاله خارج است.

اگر می خواهید کارآگاه شوید، ریاضی بخوانید

مترجم: حسن محمدپور

UserName