• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
  • تعداد بازديد :
  • 2041
  • دوشنبه 1385/12/28 ساعت 19:34
  • تاريخ :

بال زدن پروانه‌ها و طوفان

 بیش تر اوقات ما از طبیعت انتظار رفتاری پیوسته داریم، یعنی به ازای تغییرات کوچک در وضع اولیه ی سیستم، تغییرات کوچکی در نتیجه ی کار را نیز انتظار داریم. اما طبیعت همیشه مطابق میل ما رفتار نمی کند. این بار به جای بازی و معما و سؤال می‌خواهیم چند پدیده ی عجیب را برای شما بیان کنیم.

فرض کنید می‌خواهیم رشد جمعیت نوعی حشره را در یک محیط خاص مدل سازی کنیم. فرض کنیم افزایش جمعیت در سال n ام برابر بال زدن پروانه‌ها و طوفانباشد. رشد جمعیت در سال بعد یعنی سال n+1 تا حدی به رشد جمعیت در سال n ام وابسته است( جمعیت اضافه شده در سال قبل باعث افزایش تولید مثل در سال بعد می‌شود ). این وابستگی را به ساده ترین شکل ممکن و با ضریب b نشان می‌دهیم. هم چنین کمبود منابع تغذیه و مرگ و میر ناشی از آن را به کمک فاکتور بال زدن پروانه‌ها و طوفانلحاظ می‌کنیم ( افزایش بی رویه ی جمعیت در یک سال باعث رشد منفی یعنی کاهش جمعیت در سال بعد می‌شود ). این مدل رابطه ی بازگشتی ساده ی زیر را به وجود می آورد:

بال زدن پروانه‌ها و طوفان

هر چند که مدل بالا بسیار ساده تر از واقعیت است، اما نشان خواهیم داد که حتی این مدل ساده هم می‌تواند رفتاری غیرقابل پیش بینی داشته باشد:

فرض کنید بال زدن پروانه‌ها و طوفان و بال زدن پروانه‌ها و طوفان. این رابطه دنباله ای از مقادیر را تولید می‌کند:

 

بال زدن پروانه‌ها و طوفان

 

با کامپیوتر یا ماشین حساب می‌توان مثلاً 10 جمله ی اول دنباله را پیدا کرد:

1 2 3 4 5 6 8 9 10
0.180 0.295 0.416 0.486 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500

 

به نظر می‌رسد که این دنباله به 0.005 همگرا می‌شود. یعنی از یک عدد به بعد همه ی جملات 0.005 هستند. اگر همین کار را با b=2.5 انجام دهیم، خواهیم دید که این بار جملات به 0.600 همگرا می‌شوند. حال سعی کنید همین کار را با b=3.3 نیز انجام دهید. چه اتفاقی می‌افتد؟

بال زدن پروانه‌ها و طوفان

برای نمایش از این نمودار استفاده می‌کنیم. نمودار آبی نمودار عبارت درجه دوم  بال زدن پروانه‌ها و طوفان است. برای پیدا کردن مقادیر یک دنباله که با مقدار بال زدن پروانه‌ها و طوفان شروع می‌شود، کافیست نقطه ی تقاطع خط بال زدن پروانه‌ها و طوفان را با نمودار تابع پیدا کنیم. سپس این نقطه را مانند شکل متناوباً به خط x=y و نمودار بال زدن پروانه‌ها و طوفان متصل کنیم. نقاط تقاطع پلکانی که با نمودار بال زدن پروانه‌ها و طوفان رسم می کنیم، مقادیر دنباله را نشان می‌دهند. ( چرا؟ )

 

در Applet زیر می‌توانید این مدل را بررسی کنید. با کلیک کردن در سمت راست می‌توانید مقدار a را تعیین کنید و رفتار دنباله را در سمت چپ ببینید. توجه کنید که b=4 a. و a بین 0.7 و 1.0 تغییر می کند.

برای دیدن محیط تعاملی، نرم افزار جاوا را از اینجا دریافت کنید.

شکل زرد رنگ سمت راست تصویری از این مدل به دست می‌دهد. محور افقی نشانگر مقادیر b است. می‌بینید که تا جای مشخصی دنباله ی مورد نظر همگراست، بعد از آن مقادیر دنباله بین دو عدد نوسان می‌کنند و از جایی به بعد بین چهار عدد و ... بنابراین وقتی در بخش یک شاخه ی نمودار کلیک می کنید، نمودار سمت چپ به سرعت به یک نقطه همگرا می‌شود. وقتی در بخش دو شاخه کلیک می‌کنید، نمودار چپ بین دو مقدار نوسان می‌کند و وقتی در قسمت های انتهایی سمت راست کلیک می‌کنید، نمودار چپ بین نقاط زیادی نوسان می‌کند. این اتفاقات به آن معنا است که وقتی مقدار b در ناحیه ی تک شاخه باشد، رشد جمعیت ثابت است.

وقتی مقدارb در ناحیه ی دو شاخه باشد، رشد جمعیت یک دوره تناوب 2 ساله دارد و وقتی مقدار b به قدر کافی بزرگ باشد، رشد جمعیت تقریباً غیر قابل پیش بینی خواهد بود.

بنابراین می بینیم که با یک تغییر کوچک در مقدار b که می‌تواند حاصل تغییرات کوچک محیطی باشد، الگوی رشد جمعیت می‌تواند کاملاً تغییر کند.

 

می بینید که حتی یک رابطه ی ساده هم می‌تواند رفتار خیلی عجیبی داشته باشد. این رابطه و رفتار آن را اولین بارRober May متخصص ریاضیات زیستی در سال 1974، در هنگام مطالعه ی رشد جمعیت نوعی مورچه شناسایی کرد. بررسی این نوع پدیده‌ها، شاخه های جدیدی مانند ریاضیات آشوب و سیستم های دینامیکی در ریاضیات را ایجاد کرده است.

 

به عنوان مثال دیگری از پدیده هایی که در آن‌ها یک تغییر کوچک در شرایط اولیه می‌تواند باعث تغییرات شدید در نتیجه شود، تجربه ای را توضیح می‌دهیم که می توانید به کمک یک دوربین ویدیویی در خانه انجام دهید:

 

یک دوربین ویدیویی را که به تلویزیون به صورت مدار بسته متصل است، روی یک پایه که نسبت به افق زاویه ی کوچکی دارد، مقابل تلویزیون قرار دهید. نور تلویزیون و اتاق را کم کنید و دوربین را طوری تنظیم کنید که تصویر صفحه ی تلویزیون تقریباً به اندازه ی خودش باشد. فکر می‌کنید چه چیزی خواهید دید؟ احتمالاً آن چه مشاهده می کنید، شبیه شکل زیر است:

بال زدن پروانه‌ها و طوفان

حتماً انتظار دارید با تغییر محل و زاویه ی دوربین تغییرات ملایم و پیوسته ای در تصاویر مشاهده کنید. اما در عمل چیزهای عجیبی خواهید دید. این تصاویر حاصل تصویر گرفتن از صفحه ی تلویزیون با دوربین در فاصله‌ها و زاویه های مختلف هستند. چیزی بین تلویزیون و دوربین وجود ندارد. تصاویر زیر نمونه هایی از آن ها هستند.

بال زدن پروانه‌ها و طوفان
بال زدن پروانه‌ها و طوفان
بال زدن پروانه‌ها و طوفان

 در هر ثانیه بارها تصویر تلویزیون روی دوربین می افتد و تصویر جدیدی تولید می‌شود. بنابراین یک تغییر کوچک در بازنمایی تصویر که ناشی از یک به یک نبودن یا زاویه دار بودن تصویر و یا گسسته بودن دانه های فسفر تلویزیون یا CCD دوربین است، می‌تواند خیلی سریع به یک تغییر بزرگ منجر شود. مثلاً شکل پایین حاصل قرار دادن یک انگشت بین دوربین و تلویزیونی است که در حال نمایش شکل بالا بوده است.

 

 

پدیده های آشوبناک زیادی در طبیعت وجود دارند. بنابر این بعید نیست که بال زدن پروانه ای در چین باعث طوفان در برزیل شود!

 

نویسنده: سید عباس موسوی

 

UserName