• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
  • تعداد بازديد :
  • 1351
  • دوشنبه 1385/12/28 ساعت 19:32
  • تاريخ :

چه خواهیم کرد؟1

پارادکس دروغ‌گوها

در این جا سعی می کنیم تا به بیان برخی از مهم ترین پارادکس های (1) تاریخ ریاضیات بپردازیم. آن چه که در این‌جا خواهد آمد، به طور عمده توصیف ساده ای از صورت اصلی این پارادکس‌ ها بدون هیچ تأکید (و یا حتی اشاره‌ای) به صورت فنی (Technical) آن‌ها می باشد. این‌ پارادکس ها غالباً از میان مشهورترین پارادکس‌های مطرح شده در منطق و فلسفه‌ی ریاضیات(2) انتخاب شده‌اند. اگر چه سعی بر این است تا از سایر شاخه‌های ریاضیات نیز غافل نمانیم.

 

در نگاه اول ممکن است که این پارادکس‌ها نوعی معما یا بازی کودکانه به نظر برسند (امیدوارم که این نظر بعد از نگاه اول تداوم نیابد، چون در آن صورت دچار مشکلات جدی با هم خواهیم شد!). اما در پس بسیاری از این‌ ها، مسائل عمیقی نهفته است که کشف آن ها منجر به تحولات عظیمی در نگرش ریاضی ‌دانان نسبت به برخی مفاهیم ریاضی شد. البته آن چه در این جا مطرح می‌شود ( به خصوص در رابطه با پارادکس‌های فلسفی و منطقی)، شباهت چندانی با آن چه که تا کنون به عنوان ریاضیات می‌شناختید ندارد؛ شاید این مسئله ناشی از تفاوت آشکار (و البته جذاب) منطق و منطق‌دان (فلسفه و فیلسوف) با ریاضی و ریاضی‌دان باشد.

 

در اوایل دوران دانش جویی در جایی این مطلب را خواندم که: ( در نظر عامه ی مردم، «منطق‌دان» وجه شباهت چندانی با «ریاضی‌دان» ندارد و متأسفانه اکثر دانش جویان هم همین نظر را داشتند. احتمالاً منطق‌دان نوعی فیلسوف عجیب است که با ترفندهایی خود را بین ریاضی‌دان‌ها جا زده! یک موجود عجیب منفی‌باف که حرف‌های عجیبی می‌زند و تخصص عمده‌اش در انداختن زنجیر بر دست و پای ریاضی‌دانان واقعی و درست‌کار است).(3) 

 

به هر حال آن چه را که شما در این جا می خوانید برایتان بسیار عجیب خواهد بود.

 

پارادکس چیست؟

پاسخ به این سؤال کار دشواری است، البته به طور دقیق هم به مفهوم آن نمی پردازیم. با این حال می‌توان پارادکس را «متناقض نما» تعریف کرد. در حقیقت وقتی با یک پارادکس مواجه می‌شویم که از گزاره یا گزاره‌هایی ظاهراً صحیح، نتایجی استنتاج شود که متناقض  به نظر می رسند.  

 

تأکید بر «متناقض نما» و نه «متناقض» به این سبب است که در بسیاری از پارادکس‌هایی که با آن ها مواجه هستیم، علت تناقض، در صحیح نبودن تعاریف یا گزاره‌هایی است که مبنای استنتاج قرار می‌گیرند (و یا غلط بودن روش‌های استنتاج)، و آن چه که متناقض به نظر می رسد، در حقیقت متناقض  نیست.

 

در تاریخ ریاضیات پارادکس ‌ها بیش تر در نقش اصلاح کننده‌ی نگرش ریاضی ‌دانان نسبت به برخی مفاهیم ریاضی ظاهر شده‌اند. چرا که یک پارادکس برای آن ها نشان دهنده ی  وجود اشتباهی در تعاریف، گزاره‌ها یا روش استنتاج آن ‌ها بوده است، و آنان را به این فکر انداخته است تا پرده از این اشتباه بردارند. در حقیقت به ثمر رسیدن این تلاش است که منجر به اصلاح آن نگرش اشتباه می‌شود.

 

پاردکس راسل(4)

 اگر برای گیج شدن آمادگی کافی دارید، شروع می‌کنیم:

 

فرض کنید که در یک شهر آرایش گری وجود دارد که فقط و فقط سر کسانی را اصلاح می‌کند که خودشان سر خود را اصلاح نمی‌کنند، هم چنین کسی که خودش سر خود را اصلاح نمی‌کند، سرش را پیش این آرایش گر اصلاح می‌کند! حال به عقیده‌ی شما این آرایش گر سر خود را خودش اصلاح می‌کند یا خیر؟ پاسخ بسیار حیرت انگیز است: اگر این آرایش گر سر خود را خودش اصلاح نکند، جز افرادی است که سر خودشان را خود اصلاح نمی‌کنند و طبق آن چه که گفته شد این آرایش گر سر آن ها را اصلاح می کند. در نتیجه سر خودش را نیز اصلاح می‌کند!

 

اگر این آرایش گر سر خودش را خود اصلاح کند، جز افرادی که سر خودشان را اصلاح نمی کنند، قرار ندارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح نمی کند!

 

در حقیقت روشن نیست که آرایش گر سر خود را اصلاح می کند یا خیر!

 

ممکن است دچار ابهام شده باشید. عبارات بالا بیان کننده‌ی یکی از ساده‌ترین صورت‌های «پارادکس راسل» است. شاید بتوان گفت که این پارادکس مشهور‌ترین پارادکس تاریخ ریاضیات و در میان همه‌ی شاخه‌های این علم است. برتراند راسل منطق‌دان و فیلسوف انگلیسی در اواخر بهار سال 1901 هنگامی که بر روی مشهور‌ترین اثر خود -اصول ریاضیات(5) - کار می‌کرد، با این پارادکس مواجه شد. یکی از نزدیک ترین صور‌ت ‌های این پارادکس به صورتی از آن که راسل کشفش کرده بود، چنین است: (لحظه به لحظه آمادگی خود را برای بهت بیش تر افزایش دهید!)

 

در ظاهر چنین به نظر می‌رسد که برخی از مجموعه ها عضو خودشان هستند و برخی دیگر عضو خودشان نیستند. به عنوان مثال واضح است که مجموعه‌ی اعداد طبیعی، عضوی از خودش نیست، اما «مجموعه‌ی همه‌ی مجموعه‌هایی که در کم تر از صد حرف الفبای فارسی قابل توصیف هستند» عضو خودش است. چرا که این مجموعه (عبارت داخل« ») را تنها با 64 حرف توصیف کرده‌ایم !

 

حال مجموعه ی R را شامل همه ‌ی مجموعه‌هایی در نظر بگیرید که عضو خودشان نیستند. یعنی:

R = {x| عضو خودش نیست X}

 

حال آیا R عضوی از خودش است یا خیر؟ پاسخ باز هم بسیار نامعین است:

اگر R عضوی از خودش باشد، پس واجد شرایط اعضای R است، یعنی عضو خودش نیست!

اگر R عضوی از خودش نباشد، پس واجد شرایط اعضای R نیست، یعنی عضو خودش است!!

در این‌جا نیز روشن نیست که در نهایت، این مجموعه (یعنی R) عضو خودش هست یا خیر؟»

 

این پارادکس منجر به تحولات زیادی در منطق ریاضیات و فلسفه ( ریاضی و غیر آن ) شد. یکی از مهم ترین این تحولات تغییر نگرش ریاضی ‌دانان نسبت به مفهموم مجموعه بود. چرا که راسل نشان داد علت مواجه با این پارادکس، تعریف نه چندان دقیقی است که از مفهوم مجموعه در ذهن ریاضی‌دانان وجود دارد. در مقالات بعدی سعی خواهیم کرد تا به توضیح این ناسازگاری و تشریح ارتباط این ناسازگاری با پارادکس راسل بپردازیم.

 

پی نوشت:

 1. Paradox

2. در تمامی این مقاله منظور از «منطق» و «فلسفه»، «منطق ریاضی» و «فلسفه‌ی ریاضی» است مگر این‌که خلافش ثابت شود!

3. بردیا حسام، آشنایی با منطق ریاضی، مجله‌ی ریاضی، شماره‌ی ششم، پائیز 1376.

4.Certrand Arthur William Russell (1872-1970) منطق‌دان و فیلسوف انگلیسی.

5. Principles of Mathematics

 

نویسنده: صالح زارع پور

 

UserName