• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
  • تعداد بازديد :
  • 4763
  • دوشنبه 1385/12/28 ساعت 18:29
  • تاريخ :

از همه طرف به یک شکل

از همه طرف به یک شکل

تقارن در واقع یک ویژگی هندسی اجسام است. البته در نگاه اول! هنگامی می‌گوییم چیزی متقارن است که وقتی یک تبدیل روی آن انجام می‌دهیم، مثلاً آنرا می‌چرخانیم باز هم همان شکل یا جسم قبلی نمایان باشد.

شاید بشود گفت سه دسته تقارن اصلی داریم:

تقارن انعکاسی

تقارن دورانی

تقارن انتقالی و ...

 

تقارن محوری:

در تقارن محوری در واقع جسم در دو طرف یک محور خاص کاملاً یکسان است و فقط منعکس شده! فهمیدید؟ یعنی اینکه انگار نیمی از جسم تصویر نیم دیگر جسم در آینه است بنابراین به این تقارن تقارن آینه ای نیز می‌گویند. به شکلها نگاه کنید...

از همه طرف به یک شکل

یک شکل می‌تواند چند محور تقارن داشته باشد مثلاً یک مربع چهار محور تقارن آینه ای دارد.

 

تقارن دورانی:

در این نوع تقارن در واقع اگر جسم را حول یک نقطه بچرخانیم دوباره مثل خودش می‌شود مثلاً یک مثلث متساوی الاضلاع را در نظر بگیرید، اگر آنرا حول نقطه وسط آن 60 درجه بچرخانیم دوباره خودش می‌شود... نه؟ شکلها را ببینید ... سعی کنید بفهمید هر کدام از شکلها را چند درجه باید بچرخانیم تا دوباره خودشان شوند...

 

از همه طرف به یک شکل

از همه طرف به یک شکل

 

از همه طرف به یک شکل

 

تقارن انتقالی:

این تقارن شاید کمی بنیادی تر باشد و در اغلب از ریاضی و فیزیک ظاهر می‌شود . در واقع جسمی را تحت انتقال متقارن می‌گوییم که اگر آن را مقداری معین جابه جا کنیم یا بر روی شکل مقدار خاصی جابجا شویم هیچ چیزی عوض نشود!

مثلاً یک شبکه بلوری ساده مکعبی مثل بلور نمک را در نظر بگیرید، فرض کنید روی یک اتم نشسته ایم و اطراف را سیاحت می‌کنیم. حالا برویم و روی یک اتم کناری بنشینیم اگر بلورمان اندازه بینهایت داشته باشد که ما مرزها را نبینیم، دنیایی که از روی اتم دوم می‌بینیم کاملاً شبیه دنیای اتم اول است. در واقع هیچ چیزی عوض نشده و ما هیچ تفاوتی حس نمی کنیم. البته شبکه های بلوری تقارنهای دیگر راهم معمولاً دارند. با استفاده از این نرم افزار می‌توانید اشکالی با تقارن انتقالی بسازید.

 

تقارن در ریاضی:

یک مثال ساده از تقارن در ریاضی تقارنهای جبری است: عبارت  را در نظر بگیرید. اگر جای a و b را عوض کنیم، یعنی به جای همه a ها، b و به جای همه b‌ها a بگذاریم باز هم عبارتمان همان عبارت قبلی خواهد بود ... پس این عبارت نسبت به جابجایی a و b متقارن است.

 

البته واضح است که هر عبارتی متقارن نیست...

توابع متقارن نیز زمینه دیگری از حضور تقارن در ریاضیات است؛ مثلاً توابعی که شکل آنها نسبت به محورهای خاص متقارن است مثل منحنی  در این توابع اگر x را به x- تبدیل کنیم مقدار y عوض نمی شود.

 

تقارن در فیزیک:

معمولاً تقارن در فیزیک به شکل تقارن در قوانین مطرح می‌شود. کار را با یک مثال شروع می‌کنیم: نیروی گرانشی بین دو جرم را در نظر بگیرید، دو جرم داریم هر یک با جرمهایو  که در فاصله R از هم قرار دارند. خیلی از شما می‌دانید که نیروی جاذبه بین این دو جرم (طبق قانون گرانش نیوتون)برابر است با که G هم یک عدد ثابت جهانی است. البته نیرو بردار است. جهت نیرویی که به یک جرم وارد می‌شود به سمت جرم دیگر است. حالا بیایید تقارنهای این قانون را بررسی کنیم.

 

اگر فقط همین دو جرم در دنیا باشند:

وقتی یکی از جرمها را حول دیگری بچرخانیم هیچ چیز عوض نمی شود. نه مقدار نیرو و نه جهت آن ...جهت آن کماکان به سمت آن یکی جرم است. در واقع جرم چرخانده شده و جرم ثابت هیچ کدام تغییری در شرایط حس نمی کنند.

 

اگر جای دو جرم را عوض کنیم به نظرتان چیزی عوض می‌شود؟ مقدار نیرو مثلاً؟ نه باز هم همان آش و همان کاسه است. اگر هر دو جرم را به یک مقدار و در یک جهت انتقال دهیم، یعنی جابه جا کنیم باز چیزی عوض نمی شود : نه اندازه نیرو و نه جهت آن... می‌بینید ... یک قانون چقدر دارای تقارن می‌تواند باشد؟...

 

همین تقارن‌ها هستند که زندگی ما را آسان می‌کنند... تصور کنید که مثلاً به خاطر حرکت زمین در فضا مقدار جاذبه دائمأ عوض می شد. زندگی سخت به نظر نمی رسید؟

حالا بیایید کمی راجع به تقارن در زمان صحبت کنیم پدیده های فیزیکی چطور می‌توانند نسبت به زمان متقارن باشند... در واقع دو نوع تقارن در زمان می‌توانیم داشته باشیم یکی تقارن انتقالی و یکی تقارن انعکاسی. تقارن انتقالی یعنی اینکه ساختار مساله بر اثر انتقال در زمان که همان گذر زمان خودمان است؛ عوض نشود. مثالها خیلی ساده اند. مثلاً به کتابی که روی میز است یک نیروی وزن وارد می‌شود و یک نیرو از طرف میز . هر دوی اینها در تمامی زمانها ثابت اند و البته کتاب هم ساکن است! هر چه در زمان جلو برویم هیچ فرقی حاصل نمی شود... اما مثلاًبه یک توپ که پرت شده است فکر کنید... شرایط آن در زمانهای مختلف، متفاوت خواهد بود . با گذر زمان ، مکان و سرعت آن عوض خواهند شد و حرکت آن نسبت به زمان تقارن انتقالی ندارد.

از همه طرف به یک شکل

بعضی از مسائل هم تقارن انتقالی در زمان دارند اما به شرط اینکه مقدار انتقال آن ها مقدار معینی باشد: مثلاً حرکت یک آونگ را در نظر بگیرید...

از همه طرف به یک شکل

آونگی در طول زمان دائمأ می‌رود و بر می‌گردد . البته حرکت آونگ به وضوح در زمان عوض می‌شود. اگر زمان رفت و برگشت را برابر با دوره تناوب آونگ یعنی زمانی که طول می‌کشد تا آونگ به جای اول برگردد، در نظر بگیریم هیچ چیز عوض نمی شود. یعنی شرایط دقیقاً همان شرایط در زمان T ثانیه قبل تر است (T دوره تناوب آونگ است.)

 

شبیه این پدیده حرکت زمین به دور خورشید است. اگر ساعت را به اندازه یک سال جلو ببریم، حرکت کاملاً مثل یکسال قبل است، همه چیز مثل یک سال قبل رخ می‌دهد. این گونه پدیده های متقارن نسبت به انتقال در زمان را متناوب هم می‌گوییم.

از همه طرف به یک شکل

اما تقارن انعکاسی در زمان چیه؟

فرض کنید جهت گذر زمان عوض شود ... همه زمانهای t به زمان t - تبدیل می‌شوند... یعنی همه چی شروع به حرکت به سمت عقب می‌کند ... چه چیزهایی همان طور مثل قبل باقی می‌مانند و چه چیزهایی عوض می‌شوند؟

مثلاً همین حرکت آونگ را در نظر بگیرید... اگر از حرکت آن یک فیلم تهیه کنید و فیلم را به سمت عقب نمایش دهید؛ آیا کسی متوجه می‌شود که فیلم عقبکی در حال نمایش است؟ نه ! هیچ کس ! وقتی جهت نمایش فیلم را عوض می‌کنیم حرکت آونگ درست مثل حرکت آن در حالت عادی است . چه فرقی می‌کند که هی برود و بیاید و برود و بیاید و برود و بیاید ... یا اینکه بیاید و برود ، بیاید و برود ، بیاید و برود؟

این گونه مسائل نسبت به عکس زمان متقارنند.

 

اما مثلاً فرض کنید یک قطره جوهر را در آب بیندازید و از آن فیلم بگیرید... قطره کم کم در آب پخش می‌شود و پس از مدتی آب کاملاً یکنواخت و رنگی می‌شود ... حال فیلم را بر عکس می‌کنیم! یک لیوان داریم که توی آن آب رنگی است بعد یک باره رنگهای توی آب جمع می‌شوند در یک نقطه و می‌شوند یک قطره جوهر و ازآب بیرون می‌آیند! لیوان آب رنگی می‌شوند یک لیوان آب تمیز! این یک کم عجیب غریب به نظر می‌آید!

نشنیدید که می‌گویند آب رفته به جوی باز نمی گردد؟

 

یا یک مثال دیگر .... فرض کنید یک تخم مرغ از دستتان می‌افتد و می‌شکند! فیلم آن را برعکس می‌کنیم! یک تخم مرغ شکسته جمع و جور می‌شود و سالم می‌شود و می‌آید در دست شما!، این پدیده‌ها نسبت به عکس زمان متقارن نیستند.

از همه طرف به یک شکل

اما چه چیزی تعیین می‌کند که یک پدیده نسبت به عقبگرد زمان متقارن باشد؟

 

اجازه دهید بایک مثال توضیح دهیم:

فرض کنید یک جعبه خالی داریم که در گوشه آن یک سوراخ قرار دارد که از طریق آن می‌توانیم یک توپ را با سرعت به داخل پرت کنیم...

فرض کنید یک توپ را از سوراخ به داخل جعبه بیندازیم ، توپ شروع می‌کند توی جعبه به در و دیوار خوردن و این ور و اون ور رفتن، توپمان هم از این شیطونک هاست که خیلی انرژِی از دست نمی دهد. فرض کنید تمام برخوردها کشسان هستند و سرعت توپ کم نمی شود. از این اتفاق فیلم می‌گیریم ... فیلم را بر عکس می‌کنیم ... یک توپ ورجه و ورجه می‌کند و یک باره در یکی از حرکتها از سوراخ جعبه به خارج می‌رود .... خیلی چیز عجیبی نیست. فرض کنید یک بار که دارید توی اتاق توپ بازی می‌کنید ، توپتان مثلاً از دریچه هوا کش بیرون برود.

 

پس حرکت این توپ نسبت به انعکاس زمان متقارن است.

اما حالا یک حالت دیگر را در نظر بگیرید که در آن 8 تا توپ داریم... که یکی یکی آنها را به داخل جعبه پرت می‌کنیم ... توپها شروع می‌کنند به ورجه و ورجه ... حالا فیلم را بر عکس می‌کنیم : حالا یک دسته توپ در حال ورجه و ورجه داریم که ناگهان یکی یکی از سوراخ خارج می‌شوند! پشت سر هم!

 

اما این یکی عجیب است : اینکه یکباره  8 تا توپ دارند تصادفی ورجه و ورجه می‌کنند از یک سوراخ خارج شوند .... پس این بار دیگر تقارن زمانی نداریم....

اما فرق این دو مساله چیست؟ جعبه همان جعبه ... توپها همان توپ ... چرا اولی نسبت به زمان متقارن و دومی غیر متقارن است؟

 

در واقع این موضوع یک ریشه اساسی دارد ... قانون دوم ترمودینامیک . قانون دوم ترمودینامیک می‌گوید که تمامی پدیده‌ها به سمتی می‌روند که بی نظمی سیستم را افزایش دهند. و موقعی یک پدیده برگشت پذیر است یا اینکه نسبت به انعکاس زمان متقارن است که حرکت سیستم در هر دو جهت زمان تغییری در مقدار بی نظمی سیستم ایجاد نکند. اما اگر حرکت در یک جهت باعث افزایش بی نظمی شود، حرکت در جهت عکس امکان پذیر نیست . یا حداقل خود بخودی رخ نمی دهد و دیگر فیزیک حاکم انعکاس زمان را بر نمی تابد!

 

اما یک نکته ای هست: قانون دوم ترمودینامیک تنها در حد ترمودینامیکی برقرار است!

 

حد ترمودینامیکی یعنی حالاتی که تعداد اجزاء سیستم زیادند یا اینکه درجات آزادی سیستم زیاد است. مثلاً قانون دوم برای یک یا دو توپ صادق نیست یا حداقل اینکه قطعی نیست. امکان دارد حرکت کاملاً بی نظم توپ منجر به عبور آن از دریچه جعبه شود و به نوعی نظم برسیم اما وقتی تعداد توپها زیاد می‌شود. سر و کله قانون دوم پیدا می‌شود و دیگر اینکه سیستم طوری رفتار کند که رفتار بی نظم 8 تا توپ یکباره منظم شود ، کاملاً غیر ممکن می‌شود.

 

حالا شاید بشود توضیحاتی راجع به پدیده هایی مثل شکسته شدن تخم مرغ یا مثلاً پخش جوهر در آب ارائه داد ... این دیگر با خودتان.

 

نویسنده:طاها یاسری

UserName