معادلات و نامعادلات حداکثر درجه 2

این مقاله برای کلیه دانش آموزان به خصوص در مقطع دهم مناسب است زیرا حل معادلات و نامعادلات از جمله مباحث پایه ای محسوب می شود.

معادلات درجه 1 و درجه 2

فرم کلی معادله درجه یک به صورت ax+b=0 می باشد و جواب آن به صورت x=- b/a می باشد.
فرم کلی معادله درجه 2 به صورتax² +bx+c=0   می باشد که برای حل آن روش های مختلفی وجود دارد.ازجمله روش تجزیه، مربع کامل کردن و روش دلتا.
در روش تجزیه اغلب از اتحاد مربع، مزدوج،جمله مشترک و یا فاکتورگیری استفاده می شود.
در حل معادله درجه 2لازم است بدانیم :
1) هرگاه حاصلضرب دو یا چند عبارت برابر صفر باشد، تک تک عبارات می تواند صفر باشد. یعنی
A.B.C=0 ->      A=0 , B=0 , C=0
2) هرگاه معادله درجه 2 به شکل (ax+b)²=q   باشد (باید q≥0 باشد و گرنه معادله جواب ندارد زیرا سمت چپ همواره مثبت است) می توانیم از دو طرف جذر بگیریم فقط باید دقت کنیم در این حالت چون متغیر از زیر رادیکال بیرون می آید سمت راست با مثبت و منفی ظاهر می شود. سپس دو معادله درجه یک خواهیم داشت باحل آنها جواب معادله بدست می آید.

مثال: معادلات زیر را به روش تجزیه حل کنید:

حل معادله درجه 2 به روش مربع کامل
در حل معادله درجه 2 به روش مربع کامل باید معادله درجه دو در نهایت به شکل (ax+b)²=q تبدیل شود . که به همین منظور باید مراحل زیر طی شود:
1) فقط عدد ثابت را به سمت راست منتقل می کنیم
2) باید ضریب x² یک باشد اگر نبود، کل معادله را به ضریب x² تقسیم می کنیم.
3) ² (نصف ضریب x) را به دو طرف اضافه می کنیم
4) سمت چپ را به شکل اتحاد مربع می نویسیم. اکنون معادله به فرم (ax+b)²=q رسیده است.که روش حل آن را قبلا توضیح دادیم.
مثال: معادله زیر را به روش مربع کامل حل کنید:

روش کلی یا دلتا
در این روش برای حل معادله درجه 2 باید فرمول های زیر را حفظ باشید:

نکته:
1) اگر>0∆ معادله دارای دو ریشه حقیقی می باشد
2) اگر <0∆ معادله اصلا ریشه ندارد.
3) اگر0=∆ معادله یک ریشه مضاعف یا تکراری دارد.
4) مثال: معادله زیر را حل کنید.

باید دقت شود اگر دو طرف نامعادله در عددی منفی ضرب یا تقسیم شوند علامت نامساوی برمی گردد.

نامعادلات

در نامعادله برعکس معادله علامت مساوی نداریم بلکه انواع علامت های نامساوی را داریم .دو نوع نامعادله را بررسی می کنیم. نامعادله درجه 1 و نامعادله درجه2.
در نامعادله درجه 1 به فرم ax+b<0 دقیقا مانند معادله رفتار می کنیم منهتا باید دقت شود اگر دو طرف نامعادله در عددی منفی ضرب یا تقسیم شوند علامت نامساوی برمی گردد. به مثال زیر دقت کنید:

می توانیم در مثال فوق محدوده جواب یا x ها را به صورت بازه یا روی نمودار نیز نشان دهیم.
در نامعادله درجه دو حتما باید از طریق جدول تعیین علامت به جواب ها برسیم جواب ها از طریق سطر آخر جدول تعیین علامت بدست می آیند که می توان آن را به صورت بازه نشان داد. جدول تعیین علامت معادلات درجه 1 و2 در حالت کلی به صورت زیر می باشد. البته گفتیم در حالت نامعادله درجه به راحتی مانند معادله درجه 1 حل می شود.