دنباله ها (2)

به رشته ای از اعداد که پشت سر هم نوشته می شوند،دنباله عددی می گویند به هر کدام از اعداد دنباله، یک جمله گفته می شود.

در مقاله قبل درباره دنباله های حسابی و هندسی، صحبت کردیم در این مقاله قصد داریم چند نوع دنباله عددی دیگر را معرفی کنیم. همچنین به کمک بعضی فرمول ها می توان جمع جملات انواع دنباله ها را محاسبه کرد. در آخر چند تمرین به همراه پاسخ آنها در اختیار دانش آموزان قرار می دهیم .

مجموع جملات دنباله حسابی

اگر a₁ جمله اول باشد و d قدر نسبت و بخواهیم مجموع n جمله را در دنباله حسابی بیابیم . دو حالت دارد یا جمله اول و آخر معلوم است یا قدر نسبت مشخص است.

مجموع جملات دنباله هندسی

در این جا نیز ممکن است یا جمله اول و آخر را داشته باشیم و یا قدر نسبت و جمله اول .

نکته: در یک دنباله هندسی اگر قدر نسبت کمتر از 1 باشد ، دنباله ای نزولی خواهیم داشت و حد مجموع این دنباله یعنی جمع جملات اول تا بی نهایت برابر است با:

دنباله مربعی

در دنباله مربعی، جملات برابرهستند با مربع اعداد طبیعی متوالی1 , 4,25,36,... یعنی
بنابر این جمله عمومی دنباله مربعی برابر است با a_n=n²
مجموع جملات دنباله مربعی برابر است با:

دنباله مکعبی

در این دنباله، جملات برابرهستند با مکعب اعداد طبیعی متوالی یعنی 1,8,27,...
بنابر این جمله عمومی این دنباله برابر است با a _n = n³
مجموع جملات دنباله مکعبی برابر است با :

دنباله مثلثی

یک عدد مثلثی برابر تعداد نقاط موجود در یک شبکه‌ی مثلثی است که در سطر اول آن یک نقطه وجود دارد و سطرهای دیگر آن هریک، یک نقطه بیش‌تر از سطر قبلی خود دارند.مانند شکل زیر

دنباله عددی مثلثی به شکل 1,3,6,10,15,... می باشد. و جمله عمومی آن به صورت زیر است .

به‌عبارت دیگر n امین عدد مثلثی معادل است با مجموع اعداد طبیعی 1 تا n.

مجموع جملات دنباله مثلثی

اعداد مثلثی خواص جالبی دارند.به‌طور مثال مجموع دو عدد مثلثی متوالی یک «عدد مربع» است.

دنباله فیبوناتچی

در این دنباله دو جمله اول برابر یک و بقیه جملات از مجموع دو جمله قبلی خود بدست می آید .
۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…
بین دنباله فیبوناچی و عددی که نسبت طلایی نامیده می‌شود، رابطه ای وجود دارد. اگر هر عدد در دنباله فیبوناچی را به عدد پیش از خود تقسیم کنیم، مقدار این نسبتها به تدریج به یک عدد ثابت به نام عدد طلایی نزدیک می‌شود. یونانیان قدیم با این نسبت به خوبی آشنا بودند. معبد معروف پارتنون بهترین مثال از کاربرد این نسبت است. نسبت عرض به طول پنجره‌های مستطیل شکل معبد همگی برابر نسبت طلایی است.

در پایان پیشنهاد می شود ابتدا مقاله قبل و این مقاله را مطالعه بفرمایید. سپس خودتان مشغول به حل سوالات شوید و در آخر به پاسخ آنها مراجعه کنید.

مجموعه سوالات

1) کدام جمله از دنباله زیر برابر 3 است؟

2) اگر 1-x , 2+x , 1+2x سه جمله متوالی یه دنباله حسابی باشند قدر نسبت را بیابید.
3) دریک دنباله حسابی جمله چهارم برابر 20 و جمله هفتم برابر 11 می باشد.جمله بیستم چقدر است؟
4)بین دو عدد 4 و 64 تعداد 5 جمله چنان پیدا کنید که اعداد حاصل تشکیل دنباله حسابی دهند.
5) مجموع پنج جمله اول دنباله هندسی2,6,18,… کدام است ؟
6) اگر x-2,x-1,x+2دنباله هندسی باشد x را بیابید:
7) دنباله 1,1,2,3,... را در نظر بگیرید
الف)نوع دنباله را مشخص کنید
ب)دو جمله بعدی را بنویسید