هر گردی گردو نیست، هر چرخی دایره!

قبلاً خواندید که ...

هر گردی، کره نیست!

می توانیم در مورد اجسام سه بعدی هم تعریفی برای جسم با پهنای ثابت داشته باشیم. البته تعریف این نیست که سایه این اجسام روی هر صفحه مساحت یکسان دارد، بلکه حجم با پهنای ثابت حجمی است که اگر آن را بین هر دو صفحه موازی ای قرار دهیم و صفحه ها را تا حد ممکن به هم نزدیک کنیم، فاصله دو صفحه عددی ثابت باشد.

کره این خاصیت را دارد، زیرا فاصله هر دو صفحه به شکلی که گفته شد، برابر قطر کره است.

اگر حجمی پهنای ثابت داشته باشد، می توانیم روی آن کتابی قرار دهیم و کتاب را در جهت های دلخواه حرکت بدهیم، بدون آنکه بالا و پایین برود. با دوران مثلث رولو حول یکی از محور های تقارنش، می توانیم چنین حجمی با پهنای ثابت بیابیم:

بی نهایت حجم با پهنای ثابت وجود دارند. متأسفانه در مورد اجسام با پهنای ثابت، مشابه سه بعدی قضیه باربیه بر قرار نیست.

اکنون به اثبات قضیه باربیه می پردازیم.

اثبات. در ابتدای مقاله، از تعبیر سایه شکل روی خطوط مختلف استفاده کردیم، و گفتیم وقتی این سایه روی همه خطوط، طول برابر داشته باشد، می گوییم شکل دارای پهنای ثابت است.

پاره خطی مانند AB با طول b در نظر بگیرید، و فرض کنید l خطی باشد که با امتداد AB زاویه  بسازد. در این صورت با توجه به شکل معلوم می شود که طول سایه AB برابر است با | .b cos(theta|. در این شکل، سای، AB، پاره خط A’B’ است. مثلاً اگر زاویه گفته شده، قائمه باشد طول سایه برابر صفر است، و اگر زاویه صفر درجه باشد، طول سایه برابر با b است.

اگر کمی فکر کنید، در می یابید که طول سایه، با تغییر زاویه بین AB و l تغییر می کند. زاویه 360 درجه را به 6 زاویه مساوی 0°، 60°،120°، 180°، 220°، 300° تقسیم کنید. طول های سایه های AB روی خط هایی که با امتداد آن، این زاویه ها را می سازند، به ترتیب عبارتند از   b √3/2، b 1/2 و b √3/2، b.

اگر از این اعداد میانگین بگیریم، به عدد  b (3+√3)/6 می رسیم. اکنون تعداد زاویه ها را زیاد و زیاد تر می کنیم، و میانگین طول سایه ها را محاسبه می کنیم. این میانگین به عددی نزدیک می شود که آن را پهنای میانگین AB می نامیم. اگر طول AB دو برابر یا یک سوم شود، چون طول هر یک از سایه هایش با همین نسبت تغییر می کند، پهنای میانگینش هم به ترتیب دو برابر یا یک سوم می شود. پس اگر پهنای میانگین پاره خط به طول یک، برابر w باشد، پهنای میانگین هر پاره خط به طول b برابر b w است.

اکنون چند ضلعی و خطی مانند l مطابق شکل در نظر بگیرید. طول سایه چند ضلعی روی خط  l برابر است با پهنای چند ضلعی در جهت عمود بر l. با توجه به شکل زیر معلوم می شود که سایه های ضلع های چند ضلعی روی خط، دو بار سایه محیط چند ضلعی را می پوشاند:

پس حاصل جمع طول سایه های ضلع ها روی خط l برابر است با دو برابر طول سایه محیط چند ضلعی روی خط l. اکنون اگر خط l را با زوایای مختلف بچرخانیم و تساوی بالا را به ازای هر یک بنویسیم، می توانیم با میانگین گرفتن از هر یک از طرفین تساوی بنویسیم

حاصل جمع پهنای میانگین ضلع ها = دو برابر میانگین پهنای چند ضلعی

اگر طول ضلع ها برابر b، c، d، e، f و g باشد، حاصل جمع پهنای میانگین آن ها برابر است با (g+ f+ e+ d+ c+ b)wیعنی حاصل ضرب محیط چند ضلعی در عدد ثابت w. این حکم در مورد هر چند ضلعی دلخواهی بر قرار است. حالا اگر شکلی با پهنای ثابت برابر a داشته باشیم، چند ضلعی ای رسم می کنیم که خیلی به آن شبیه است. مثلاً این چند ضلعی شبیه مثلث رولو است:

اکنون با استفاده از دستور بالا می توانیم بنویسیم

محیط چند ضلعی × w = دو برابر میانگین پهنای چند ضلعی

اگر چند ضلعی خیلی شبیه شکل با پهنای ثابت a باشد، می توانیم فرض کنیم که محیط چند ضلعی با محیط شکل برابر است و پهنای چند ضلعی را در هر جهت می توانیم همان پهنای شکل بدانیم که در همه جهت ها برابر a است. پس میانگین پهنای این چند ضلعی هم عددی ثابت است. پس:

محیط شکل ×w = 2a

یعنی:

2a/w = محیط شکل

پس همه شکل های با پهنای ثابت برابر a، محیط برابر دارند.

نشریه ریاضیات - بهزاد اسلامی، کسری علیشاهی

گروه مدرسه اینترنتی   سایت تبیان - تنظیم: نوربخش