هر گردی گردو نیست، هر چرخی دایره!

1. چاه های مربعی

دایره ای بودن چاه ها، به استحکام دیوارۀ آن ها کمک می کند، و کندن چاه دایره ای از کندن چاه مثلاً مربعی راحت تر است. اما لحظه ای این امور فنی را فراموش کنید. می خواهیم چاهی با شکلی بکنیم و روی آن دری با همان شکل بگذاریم. اگر شکل چاه و شکل در مربع باشند، چه اتفاق بدی ممکن است بیفتد؟

بله! ممکن است در چاه به درون چاه بیفتد! به این شکل نگاه کنید.

چه شکلی های دیگری می شناسید که این خاصیت را دارند؟ آیا چاه های مثلثی هم همین درد سر را ایجاد می کنند؟

آیا می توانید بگویید چرا در مورد دایره این مشکل وجود ندارد؟

بیایید دوباره به چاه مربعی فکر کنیم. چرا در چاه را می توانیم در بعضی جهت ها به درون چاه بیندازیم؟ دلیل این است که مربع در بعضی جهت ها پهن تر از بعضی جهت های دیگر است. به این شکل نگاه کنید.

وقتی می خواهیم پهنای شکلی را بسنجیم، آن را بین دو انگشت شست و اشاره می گیریم، و می بینیم که فاصلۀ دو انگشت چقدر است. با همین راه می توانیم پهنای شکل در جهت های مختلف را به زبان ریاضی تعریف کنیم. دو خط موازی در نظر بگیرید و شکلی را بین آنها بگذارید. حالا آن قدر این خطوط را به یکدیگر نزدیک کنید که هر یک، مربع را در نقطه ای قطع کند. این دو خط را در چنین وضعیتی، خطوط محمل شکل می نامیم. فاصلۀ خطوط محمل را پهنای شکل (در جهت آن خطوط) می نامیم.

پهنای دایره در همۀ جهت ها یکسان و برابر قطر دایره است. چنین شکلی را شکل با پهنای ثابت می نامیم.

به بیان دیگر، شکل با پهنای ثابت شکلی است که وقتی آن را بچرخانیم (یا بر عکس، خط را بچرخانیم)، سایه ای که از آن در اثر دسته ای پرتوی موازی ایجاد می شود، طول ثابت داشته باشد. در این شکل می بینیم که بیضی شکلی با پهنای ثابت نیست.

تعبیری از اینکه پهنای مربع ثابت نیست، چنین است: کتابی را روی دو منشور با قاعدۀ مربع قرار می دهیم. با سختی زیاد بالاخره می توانیم کتاب را روی این دو منشور حرکت دهیم. اما طی این حرکت، کتاب بالا و پایین می رود. در صورتی که اگر حجم ها استوانه می بودند (و در نتیجه، سطح مقطعشان دایره می بود)، کتاب بالا و پایین نمی رفت.

آیا می توانید ارتباط شکل های با پهنای ثابت را با مسئلۀ چاه بگویید؟ آیا شکل های دیگری با پهنای ثابت می شناسید؟ اگر نه، سعی کنید پیدا کنید. (راهنمایی: از پرگار استفاده کنید.)

نشریه ریاضیات - بهزاد اسلامی، کسری علیشاهی

گروه مدرسه اینترنتی   سایت تبیان - تنظیم: نوربخش