مشتق گیری ضمنی و مشتق مراتب بالا

هر معادله ضمنی را می توان به صورت  f(x,y)   نشان داد .

تابع با ضابطه  y=x²+3x-9 را در نظر می گیریم این معادله ، ضابطه f  را به طور صریح تعریف می كند و y مستقیماً بر حسب x نوشته شده است . اما همیشه در همه توابع y به صورت صریح بر حسب x نمی باشد . مثلا اگر  x²+y²+2xy-3=0  را در نظر بگیریم نمی توانیم y را بر حسب x  به صورت صریح بنویسیم . به همچین معادلاتی ، توابع ضمنی می نامند.

هر معادله ضمنی را می توان به صورت  f(x,y)  نشان داد . در حالت کلی تر هر معادله ای به صورت  f(x1,x2,...,xn)=0 که f یک تابع از چند متغیر است را یک معادله ضمنی می نامند.

به عنوان مثال معادله ضمنی دایره به مرکز (0,0) و شعاع 1 برابر است با x²+y²−1=0 . همان طور که مشاهده می کنید در این معادله به طور صریح y بر حسب  x داده نشده است.

در بعضی مواقع می توان y را به طور صریح x نوشت در اینصورت به روش معمولی می توانیم از آن مشتق بگیریم مثلا در مثال 2x+3y=5 داریم:

ولی چنانچه نتوانیم فرمولی صریح برای توابع ضمنی پیدا کنیم در این صورت می توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم.

اگر f(x,y)=0 باشد، مشتق y نسبت به x و یا مشتق x نسبت به yبرابر است با:

f’_x  مشتق تابع نسبت به x  است.

f’_y مشتق تابع نسبت به y  است.

اگر بخواهیم نسبت به x مشتق بگیریم y را ثابت فرض می كنیم و اگر نسبت به y مشتق بگیریم x را ثابت فرض می كنیم .

  اثبات : در تابع f(x,y)=0 اگر بخواهیم از طرفین نسبت به x به صورت زنجیری مشتق بگیریم داریم:

 مثال: مشتق  تابع y -x siny +1=0 را به دست آورید:

مثال: مشتق تابع زیر را بدست آورید:

مشتق تابع وارون

اگر f پیوسته و یک به یک باشد در آن صورت:

مشتق مراتب بالا

مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. بطوری که با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:

اگر y=f(x )  مشتق پذیر از مرتبه n ام باشد مشتقات متوالی آن به صورت زیر است:

قاعدهٔ لایبنیتس

این قاعده بیان می‌کند که اگر دو تابع f و g روی بازه (a,b)  دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ n ام باشند، آنگاه حاصل‌ضرب f.g نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ n  است و داریم:

مثال: مشتق دهم تابع زیر را بیابید:

 بعضی از توابع در مشتق مراتب بالای خود از یک نظم خاصی پیروی می کنند . در زیر لیستی از مشتق مراتب بالاتر بعضی توابع را ارائه می کنیم:

با استفاده از جدول فوق اکنون می توانید به راحتی پاسخ مثال قبل را محاسبه کنید.

تهیه: مرکز یادگیری سایت تبیان