درس 2: ریاضیات شکست

مسیر پرتو و حل مسئله

در درس قبلی رابطه ی بین زوایای شکست و تابش ضریب شکست نور در دو محیط را یافتیم و آن را تحت قانون اسنل به صورت زیر یافتیم.

که در آن،  زاویه تابش، زاویه شکست، n_i ضریب شکست محیط تابش و n_r ضریب شکست محیط شکست می باشد که با داشتن 3 تا از کمیت های معادله ی اسنل، با انجام محاسبات ریاضی می توان مقدار کمیت چهارم را یافت. در این درس به حل چند مسئله فیزیکی می پردازیم تا شما بیش از قبل با کاربردهای قانون اسنل آشنا شوید و بتوانید بهتر از این معادله استفاده کنید.

مثال اول) پرتو نوری از هوا با زاویه ی 52 درجه نسبت به خط عمود وارد آب می شود. ضریب شکست آب n=1.333 می باشد، زاویه شکست را بیابید.

حال معادله ی اسنل را می نویسیم و دانسته ها را در معادله قرار می دهیم تا مقدار ضریب شکست آب تعیین شود.

با محاسبات زاویه شکست 36.2° به دست آمده است.

حال برای چک کردن درستی جواب می توان چنین تحلیل کرد که چون پرتو نور از محیطی با چگالی کمتر به چگالی بیشتر وارد می شود بنابراین پرتو نور هنگام شکست باید به خط عمود نزدیکتر شود، پس زاویه شکست باید کوچکتر از زاویه ی تابش باشد که جواب به دست آمده هم، این را تایید می کند.

مثال ب) پرتو نوری با زاویه تابش 42° به شیشه ای برخورد می کند، زاویه شکست و زاویه ی خروج از شیشه را به دست بیاورید. (  n=1  هوا  و n=1.52 شیشه )

این مسئله کمی پیچیده تر از مسئله الف می باشد چون پدیده ی شکست در دو مرز برای پرتو نور رخ می دهد. این مسئله یک نمونه برای مسئله لایه است جایی که پرتو نور ابتدا در حال ورود در قسمت بالای شیشه می شکند و دوباره برای خروج از آن در مرز شماره 2 (شیشه – هوا) می شکند.

در هر صورت، شروع مسئله مشابه مسئله قبل است. برای درک بهتر مسئله، با توجه به اطلاعات داده شده و دانسته های فیزیکی، شکل آن را رسم می کنیم.

حال در مرز 1، از قانون اسنل استفاده کنید، معلومات را در معادله قرار دهید و معادله را حل کنید تا مقدار مجهول را بیابید. از مرز اول شروع کرده و از قانون اسنل دوباره در مرز دوم استفاده می کنیم تا مقدار مجهول به دست آید.

زاویه ی شکست ورودی در مرز اول 26.1 درجه می باشد. از آنجایی که مرز ا و 2 با هم موازیند، پس اندازه زاویه ی شکست در مرز اول برابر اندازه ی زاویه ی تابش مرز دوم است. (به شکل دقت کنید.) حال دوباره از قانول اسنل برای مرز دوم استفاده می کنیم.

با کمی دقت به مسئله بالا و جواب های به دست آمده، به مفهوم مهمی در فیزیک پی خواهید برد. زاویه ی فرودی به شیشه در مرز اول 42 درجه بود و زاویه خروج از شیشه در قسمت پایین آن نیز 42 درجه می باشد. پرتو هنگام ورود در یک جهت شکسته شده و موقع خروج هم در جهت دیگر شکست داده می شود. این دو اثر به گونه ای در توازون قرار می گیرند تا پرتو نور بتواند در مسیر اولیه خود حرکت کند. مفهوم اصلی مسئله به قرار زیر است:

اگر لایه متوازی الاضلاع نباشد، یا اگر دو طرف اضلاع از یک ماده نباشد، دیگر نتیجه بالا صحیح نمی باشد. سعی کنید در موارد مشابه این نتیجه را بررسی نمایید.

مثال پ): پرتو نوری از هوا با زاویه ی صفر درجه به منشور مثلثی شکل از جنس شیشه تابیده می شود (در شکل مشاهده نمایید) مسیر پرتو نور هنگام ورود به شیشه و خروج از آن را با انجام محاسبات رسم نمایید.

حل مسئله پ) : این مسئله از مسئله ی قبل نیز دشوارتر است. در این تمرین 2 مرز وجود دارد اما این 2 مرز موازی نیستند نور هنگام ورود به شیشه (مرز شماره 1) هوا به شیشه و هنگام خروج از آن (مرز شماره 2) شیشه به هوا می شکند.

معلومات مرز اول را در رابطه اسنل قرار دهید، و با انجام محاسبات جبری و حل مسئله درجه اول مقدار را به دست آورید. و همین کار را برای مرز دوم تکرار نمایید.

باید بدانید که وقتی پرتو نور به صورت عمود (در راستای خط عمود) به مرز تابیده شود، بدون شکست به محیط دوم وارد می شود. زاویه تابش و شکست در مرز اول با هم برابر است پس پرتو نور در این مرز شکست نخورده است.

در گام بعدی، مسیر پرتو نور را بدون شکست تا رسیدن به مرز دوم در منشور مثلثی رسم می کنیم. پرتو شکست را با صفر درجه انحراف رسم می کنیم، در مرز دوم، باید خط عمود رسم شده ( با نام n ) و زاویه تابش ( زاویه بین پرتو تابش و خط عمود ) محاسبه شود. در شکل این مرحله نشان داده شده است. مقدار به دست آمده برای زاویه تابش در مرز دوم با 30 درجه است ( از روش هندسی این مقدار را به دست آورید. ) با دانستن سه متغیر از چهار متغیر معادله اسنل، می توانیم متغیر چهارم ( زاویه شکست ) را در مرز دوم تعیین کرد.

پرتو شکست با زاویه 49.5 درجه نسبت به خط عمود از مرز دوم خارج می شود. در شکل مسیر کامل پرتو نور رسم شده است.

سه نمونه بالا نمونه های ساده ای از مسائلی است که ممکن است شما با آن مواجه می شوید.

دانسته های خود را بسنجید.

1-  زاویه شکست را در اشکال زیر تعیین نمایید.

2- برای یافتن مسیر نور هنگام گذر از لایه های زیر، محاسبات لازم را در هر مرز انجام دهید. سعی کنید رسم مسیر نور از نقاله و خط کش استفاده نمایید.

3- پرتوی نوری با زاویه ی 25 درجه از شیشه به هوا وارد می شود. زاویه شکست را محاسبه نمایید.

4- پرتو نوری از هوا ( n = 1 ) به مانعی از جنس لوسیت ( Lucite ) با n=1.40 که به شکل منشور مثلثی شکل با زوایای 90 و 60 و 30 درجه است برخورد می کند. مسیر پرتو نور در مانع را در شکل زیر ترسیم نمایید.

مرکز یادگیری سایت تبیان -  تهیه و تنظیم : نوربخش