مدار مریخ

اهداف

دانش آموزان:

گردش مریخ و زمین را نسبت به خورشید، با استفاده از معادلات پارامتریک توصیف خواهند کرد.

گردش مریخ را نسبت به زمین، با استفاده از معادلات پارامتریک توصیف خواهند کرد.

وسایل لازم

ماشین حساب گراف

کامپیوتر و اتصال به اینترنت

مدار مریخ (مدل)

مدار مریخ (واقعی)

اکنون ستاره شناسان می دانند که سیارات منظومه ی شمسی، در یک مدار تقریباً دایره ای شکل، به دور خورشید حرکت می کنند، هر چند که مردم در گذشته بر این باور بودند که خورشید و دیگر سیارات به دور زمین در حرکت هستند. اگر زمین مرکز منظومه ی شمسی بود، ارتباط سیارات دیگر با زمین، چگونه به نظر می رسید؟ این سؤالی است که دانش آموزان باید پاسخ آن را در این درس کشف کنند. دانش آموزان برای توصیف موقعیت ارتباط سیارات با خورشید، معادلات پارامتریک خواهند نوشت. سپس برای توصیف موقعیت رابطه ی مریخ با زمین، معادلات را با یکدیگر ترکیب خواهند کرد.

طرح درس

نکته ی ویرایش گر

در بسیاری از بخش های این درس، گفته می شود که مدارهای سیارات، دایره شکل است. این فقط برای سادگی مباحث می باشد. در واقع مدار زمین و مریخ به دور خورشید، مسیرهای بیضی شکل هستند و خورشید در مرکز این مسیر های بیضی شکل قرار گرفته است. بنابراین فرض مدارهای دایره شکل به طور کامل صحیح نمی باشد. این مسیرهای بیضی شکل خیلی نزدیک به دایره هستند، اما منطقی نیست که آن ها را دایره فرض کنیم. (در انتهای این درس، مبحثی در مورد مسیر های حقیقی هر دو سیاره و این که چطور موقعیت به عنوان یک نتیجه تغییر می کند، وجود دارد.)

عکسی از منظومه ی شمسی نشان دهید –مثلاً عکس بالا که خورشید، زمین و مریخ را نشان می دهد – و از کلاس بپرسید: چه کسی می تواند در مورد حرکت خورشید، زمین و دیگر سیارات در منظومه ی شمسی توضیح دهد؟ اجازه دهید یک دانش آموز داوطلب توضیح دهد که خورشید در مرکز منظومه ی شمسی قرار دارد و سیارات دیگر در مدار های بیضی شکل به دور آن در چرخش هستند.

توضیح دهید که این یک مدل دوار به دور خورشید (که خورشید در مرکز است) از منظومه ی شمسی است که در این اواخر کشف شده است. سال های زیادی همه بر این باور بودند که زمین مرکز عالم هستی است و خورشید و دیگر سیارات به دور زمین در حرکت هستند.

مدل دوار به دور زمین از جهان هستی (که زمین در مرکز است)، برای مدت های طولانی،  تا اواخر قرن 16 پذیرفته شده بود. در حقیقت، یوهانس کپلر در سال 1956 در کتاب راز جهان هستی (Mysterium Cosmographicum) مدلی از سیارات را که در آن زمین در مرکز قرار داشت، ارائه کرد و هر سیاره با یکی از پنج شکل افلاطونی، در یک مسیر بیضی شکل به دور زمین در حرکت بود (جسم چهار وجهی، 8 وجهی، 12 وجهی و 20 وجهی). مدل او در شکل بالا نمایش داده شده است.

شاید بخواهید در مورد یک واقعیت تاریخی که زیاد مشهور نیست، اطلاعاتی کسب کنید. اگرچه نیکلا کپرنیک (1543-1473) این پیشنهاد را که خورشید مرکز عالم هستی است، ارائه کرد، این ایده خیلی قدیمی تر از آن است:

ارِستَرخُس(Aristarchus) پیشنهاد کرده بود که خورشید مرکز عالم هستی است و حتی تلاش کرده بود تا مسافت زمین تا خورشید را با استفاده از مثلثات و اطلاع از مسافت زمین تا ماه، تخمین بزند.

به نظر می رسد که هم یونانی ها و هم ایتالیایی ها شک داشته اند که خورشید مرکز منظومه ی شمسی است. اما این نظریه تا رنسانس، زمانی که مدل دوار به دور خورشید (که خورشید در مرکز است) توسط کپرنیک دوباره احیا شد، مطرح نشد.

بعد از این مقدمه، به دانش آموزان بگویید: "ما می دانیم که مسیر زمین به دور خورشید، تقریباً دایره ای شکل است. اما اگر مردم فکر کنند که زمین ساکن است و خورشید به دور زمین حرکت می کند، چطور ممکن است بفهمند مسیر خورشید به دور زمین چگونه خواهد بود؟"

دانسته های کنونی ما (این که زمین در یک مسیر تقریباً دایره ای شکل به دور خورشید در حرکت است) را به آن ها یادآوری کنید.

سپس به دانش آموزان فرصت دهید تا درباره ی این سؤال فکر کنند. به آن ها فرصت دیگری دهید تا در مورد این سؤال با همکلاسی های خود بحث و با یکدیگر مشورت کنند.

زمین در یک مسیر دایره ای شکل به دور خورشید می چرخد، به این معنی است که فاصله ی بین زمین و خورشید ثابت است. بنابراین زمانی که مردم زمین را مرکز عالم هستی فرض می کنند، مشخص می شود که خورشید مدار دایره شکلی به دور زمین ساخته، زیرا فاصله ی بین آن ها هرگز تغییر نکرده است.

سؤال درباره ی مسیر خورشید به دور زمین، باعث درک دانش آموزان از رابطه ی مسیر ها می شود. بنابراین، نیازی به صرف زمان بیشتر و بحث در مورد این موضوع نمی باشد. پیش از این معتقد بودیم که چرخش خورشید به دور زمین منطقی به نظر می رسد. اما مشکلات، زمانی پدیدار می شود که فرض کنیم سیارات دیگر هم در منظومه ی شمسی به دور زمین می چرخند. در این درس، ما برای یافتن جواب، روی این سؤال تمرکز می کنیم که اگر زمین (به جای خورشید) در مرکز منظومه ی شمسی  بود و اگر مریخ به دور زمین می چرخید، مسیر حرکت مریخ چگونه بود؟

چند دقیقه به دانش آموزان فرصت بحث کردن بدهید. به آن ها اجازه دهید دو نفری کار کنند، در کلاس راه بروید و اگر لازم بود پیشنهادات خود را به دانش آموزان ارائه کنید. یک پیشنهاد این است که آن ها خورشید، زمین و مریخ را رسم کنند، تا مشخص شود چه اطلاعاتی از منظومه ی شمسی دارند و سپس در مورد رابطه ی موقعیت های زمین و مریخ نسبت به خورشید و حرکت آن ها به دور خورشید فکر کنند. در این صورت ممکن است دانش آموزان درباره ی فاصله ی هر سیاره از خورشید سؤال کنند. همین طور در مورد مدت زمانی که طول می کشد تا هر سیاره به دور خورشید حرکت کند.

اطلاعات واقعی در زیر بیان شده است:

فاصله ی زمین تا خورشید:  149600000 کیلومتر

فاصله ی مریخ تا خورشید:  227900000 کیلومتر

نسبت فاصله ها:  1.524

مدت زمان یک دور حرکت مریخ به دور خورشید: 687 روز

نسبت زمان ها:  1.881

ممکن است برای ساخت یک مدل، به دانش آموزان پیشنهاد دهید که به جای اعداد بالا از اعداد تقریبی استفاده کنند. این تقریب ها که در زیر بیان شده، بسیار در این درس مورد استفاده قرار خواهند گرفت، زیرا هنگام مدل سازی، می توان به نتایج جالبی رسید.

فاصله ی زمین از خورشید:  150000000 کیلومتر

فاصله ی مریخ از خورشید:  225000000 کیلومتر

نسبت فاصله ها:  3:2

مدت زمان یک دور حرکت مریخ به دور خورشید:  2 سال

نسبت زمان ها:  2:1

به دانش آموزان فرصت مناسبی بدهید تا یک مدل بسازند و درباره ی موقعیت آن فکر کنند. البته این، یک سؤال سخت است. هر دانش آموزی نمی تواند راه حل درستی پیدا کند. در حقیقت، تعدادی از دانش آموزان ممکن است از همان ابتدا با مشکل مواجه شوند. اگر چنین مشکلی وجود داشت، اجازه دهید دانش آموزان با یکدیگر و به طور گروهی کار و بحث کنند، زیرا این کار باعث پیشرفت می شود. پس از این که تمام گروه های دانش آموزان به یک نظر در مورد رابطه ی مریخ با زمین رسیدند، از چند دانش آموز بخواهید حدس های خود را بر روی تخته رسم کنند. (ترسیم بر روی کاغذ شفاف مناسب است، اما ترسیم بر روی تخته سیاه یا تخته سفید برای مقایسه ی طرح ها با یکدیگر مناسب تر است.)

اجازه دهید دانش آموزان حدس های خود را توضیح دهند و در کلاس در مورد این که کدام مدل بهتر به نظر می رسد، بحث کنید و دانش آموزان را تشویق کنید حدس های یکدیگر را اصلاح کنند و به پیشنهادات آن ها در مورد نحوه ی برگزاری کلاس گوش کنید. سپس، این پیشنهادات را امتحان کنید.

می توان از معادلات پارامتریک برای توصیف موقعیت مریخ در ارتباط با زمین استفاده کرد. شما برای نوشتن این معادلات، به استفاده از اطلاعاتی (که در اختیارتان قرار داده شد) همچون فاصله ی سیارات از خورشید، مدت زمان چرخش آن ها به دور خورشید، نسبت فاصله ها و نسبت زمان ها احتیاج خواهید داشت. نسبت فاصله ها به خورشید 3:2 است و نسبت زمان گردش به دور خورشید، 2:1 است.

علاوه بر این، شما یک واحد جدید، برابر با 75 میلیون کیلومتر خواهید ساخت. پذیرفتن چنین واحد هایی سبب جلوگیری از استفاده از اعداد به شکل اعشاری در محاسبات می شود. همچنین می توانید برای این واحد اسم انتخاب کنید، برای مثال یک دانش آموز تصمیم گرفت 75 میلیون کیلومتر را برابر با 1 اما (emma) قرار دهد. به این ترتیب فاصله ی خورشید تا زمین را می توان با 2 اما بیان کرد و فاصله ی خورشید تا مریخ هم با 3 اما بیان می شود. تمام این قسمت ها را در کنار یکدیگر قرار دهید. مکان هر یک از سیارات را می توان به صورت معادلات پارامتریکی که در زیر بیان شده، توصیف کرد:

اجازه بدهید دانش آموزان این معادلات را بسط دهند. معادله ی صحیح را به آن ها نشان ندهید تا خودشان معادله را بنویسند. در ادامه، معادله ی صحیح را ارائه کرده و در مورد این که اعداد از کجا آمده اند، توضیح دهید. اجازه دهید یکی از دانش آموزان توضیح دهد. (ضرایب مقابل Sin و Cos نشان دهنده ی نسبت فاصله ها از خورشید می باشد 3:2. ضریب مقابل  در داخل پرانتز، نشان دهنده ی نسبت سرعت ها برای دو سیاره است 1:2 که نشان می دهد زمین یک گردش کامل به دور خورشید را در نصف زمانی که مریخ به دور خورشید می گردد، انجام می دهد.)

شاید دانش آموزان راحت تر باشند که معادلات را به صورت زیر بنویسند. در این جا مختصات  X و Y جداگانه نوشته شده است:

رابطه ی بین موقعیت دو سیاره را می توان با یافتن اختلاف مختصات آن ها مشخص کرد. این نتیجه در معادلات پارامتریک زیر نشان داده شده است:

ا استفاده از یک ماشین حساب هندسی یا نرم افزار کامپیوتری، به دانش آموزان امکان ترسیم این معادلات را بدهید. دانش آموزان ممکن است با دیدن نتایج متعجب شوند: یک منحنی با دوره ی . این معادلات ساده شده اند تا دانش آموزان بتوانند شکل منحنی آن را ببینند:

برای نتیجه گیری این درس، به دانش آموزان اجازه دهید از مدل مدار مریخ و مدار حقیقی مدار مریخ، در فعالیت هایشان استفاده کنند.

فعالیت مدل مدار مریخ

فعالیت واقعی مدار مریخ

تفاوت میان این فعالیت ها، این است که مدل، از اعداد تقریبی برای فاصله از خورشید و زمان گردش به دور خورشید استفاده کرده، در حالی که در مدل حقیقی از مقادیر حقیقی استفاده شده است. زمانی که برنامه ی اپلت در حال اجرا است، مدل یک منحنی را می دهد که به طور مداوم تکرار می شود، در صورتی که مدار واقعی به ما منحنی ای را می دهد که با هر گردش مریخ تغییر می کند.

پرسش هایی برای دانش آموزان

در معادلات پارامتریک که گردش مریخ را نسبت به زمین توصیف می کند، متغیر (t) چه چیزی را نشان می دهد؟

[زمان را.]

چه زمانی اتفاق می افتد که مریخ نسبت به زمین سریع تر حرکت کند؟ و چه موقع کند تر؟

[مریخ زمانی که از زمین دور تر است، به نظر می رسد سریع تر حرکت می کند و زمانی که به زمین نزدیک تر است، به نظر می رسد آهسته تر حرکت می کند. بر روی نمودار، بیشترین سرعت در (0 و 5-) و کمترین سرعت در (1 و 0) رخ می دهد.]

آیا فکر می کنید اگر در قرن 15، ستاره شناسان این مشاهدات و وضعیت مریخ و زمین را دیده بودند، باز هم بر این باور بودند که زمین مرکز منظومه ی شمسی است؟ جواب خود را توضیح دهید.

[ستاره شناسان در قرن 15 (و در واقع از قرن دوم)، از قبل می دانستند که این مسیری است که به نظر می رسد مریخ به دور زمین می پیماید. آن ها بار ها این مسیر را ترسیم کردند اما هنوز بر این باور بودند که زمین مرکز جهان هستی است. مدل اصلی آن ها این بود که مریخ به دور دایره ای حرکت می کند که مرکز آن به دور دایره ای به مرکز زمین در حرکت است. با این تعریف، مریخ دقیقاً در یک دایره حرکت نمی کند اما هنوز هم به دور زمین می گردد. ستاره شناسان حدود 15 قرن تلاش کردند تا این مدل را طوری تغییر دهند که بر مشاهدات منطبق شود.

وقتی گالیله تئوری خود را در این باره که خورشید مرکز منظومه ی شمسی است، ارائه داد، نشان داد که مریخ در مسیری حرکت می کند که دیگران یافتند. با این وجود، این برای متقاعد کردن همتایش که می گفت خورشید در مرکز است، کافی نبود. معاصران گالیله، نه کم هوش بودند و نه احمق. آن ها عقاید دیرینه ی عمیقی داشتند و آیات علمی کتاب مقدسشان را نقض نمی کردند.]

مترجم: رامون اسدی