قانون کسینوس ها

اهداف

دانش آموزان پس از مطالعه ی این درس می توانند:

از روابط مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه برای بسط قانون کسینوس ها استفاده کنند.

از قانون کسینوس ها برای حل مسائل استفاده کنند.

وسابل لازم

برگه ی فعالیت قانون کسینوس ها

طرح درس

شاید پیش از این، دانش آموزان از قانون سینوس ها تنها برای حل مسائل مثلث قائم الزاویه استفاده می کردند. در این درس، دانش آموزان می آموزند که چگونه از قانون کسینوس ها برای حل مسائل مثلث های غیر قائم الزاویه استفاده کنند که با قانون سینوس ها نمی توان آن مسائل را حل کرد.

درس را با رسم اشکال زیر آغاز کنید:

سؤال های زیر را برای دانش آموزان مطرح کنید:

1. آیا تنها یک مثلث با اندازه ی زوایا و اضلاع ذکر شده در بالا وجود دارد؟ چرا؟ [بله، حالت سه ضلع (ض ض ض) و دو ضلع و زاویه ی بین (ض ز ض)، دو حالت از حالت های تساوی دو مثلث است. بنابراین اگر دو ضلع و زاویه ی بین آن ها یا سه ضلع از مثلث معلوم باشد، آن مثلث یکتا است.]
2. چرا نمی توان در این مورد از قانون سینوس ها برای تعیین زاویه یا ضلع مجهول استفاده کرد؟ [برای استفاده از قانون سینوس ها حداقل باید اندازه ی یکی از زوایای مثلث مشخص باشد. بنابراین در مثلثی که تنها سه ضلع آن معلوم است، نمی توان از قانون سینوس ها برای تعیین زوایای مجهول استفاده کرد. علاوه بر این برای استفاده از قانون سینوس ها باید اندازه ی زاویه و ضلع مقابل آن معلوم باشد. بنابراین از این قانون نمی توان برای تعیین زاویه و ضلع مجهول در مثلثی که دو ضلع و زاویه ی بین آن معلوم است، استفاده کرد؛ زیرا اندازه ی ضلع مقابل به زاویه ی معلوم، داده نشده است.]

از دانش آموزان بخواهید تا ابتدا به طور انفرادی درباره ی پرسش ها فکر کنند. سپس از آن ها بخواهید تا درباره ی پاسخ هایشان با هم گروهی های خود و بعد با همه ی گروه ها بحث کنند.

پس از بحث درباره ی پرسش ها، یک کپی از برگه ی فعالیت قانون کسینوس ها را بین دانش آموزان پخش کنید و از آن ها بخواهید تا مقدمه ی آن را بخوانند.

 

پس از آن که دانش آموزان بخش مقدمه را خواندند، بین مسائل مطرح شده در ابتدای کلاس و هدف این فعالیت ارتباط برقرار کنید. توضیح دهید که در این فعالیت، قانون کسینوس ها را بسط داده و از آن در مواردی که قانون سینوس ها کارایی ندارد، استفاده می کنیم.

برگه ی فعالیت قانون کسینوس ها

در برگه ی فعالیت قانون کسینوس ها، دستور کارهای مشخصی آماده شده که دانش آموزان را برای انجام فعالیت راهنمایی می کند. در طی این فعالیت، معلم نقش های مختلفی ایفا می کند. پیش از این که دانش آموزان کار بر روی پرسش ها را آغاز کنند، معلم نقش توضیح دهنده را ایفا می کند. برای شروع درس، شکل مثلث ABC و ارتفاع k را همان طور که در شکل زیر نشان داده شده، بر روی تخته سیاه یا پروژکتور آموزشی رسم کنید. سپس شکل را برای دانش آموزان توضیح دهید. اشاره کنید که ارتفاع k بر ضلع c عمود است.

از دانش آموزان بپرسید چرا یک بخش از ضلع c را می توان به صورت c - x نشان داد.

[از آن جا که c از مجموع این دو بخش ساخته شده، اگر یکی از بخش ها را با متغیر x نشان دهیم، بخش دیگر را می توان به صورت c منهای آن بخش یعنی c - x نشان داد.]

در پرسش های 1 تا 8 در برگه ی فعالیت، نقش معلم به دستیار تغییر می کند. دانش آموزان با هم گروهی خود برای پاسخ به پرسش ها کار می کنند. معلم نیز باید به همه ی گروه ها سر زده و در بحث میان دانش آموزان شرکت کرده و آنان را در پاسخ به پرسش ها راهنمایی کند.

معلم می تواند با سر زدن به همه ی گروه ها و طرح پرسش های زیر بحث گروهی را تسهیل کند:

1. اگر چه نتیجه ای از می توان گرفت؟ [به کمک اصل تساوی نتیجه می گیریم که این دو برابرند.]
2. چرا از cos B برای حذف x از رابطه ی استفاده شد؟ [ممکن است دانش آموزان جواب دهند چون در حال بسط قانون کسینوس ها هستند. از آن ها بخواهید تا عمیق تر فکر کنند. cos B گزینه ای منطقی است، زیرا هم شامل x است که باید حذف شود و هم شامل a است که ضلع مثلث ABC است.]

پس از آن که دانش آموزان پرسش های 1 تا 8 را پاسخ دادند، از آن ها بخواهید تا روابطی را که نوشته اند، تحویل دهند. در این مرحله معلم باید کار شاگردان خود را ارزیابی کرده و مطمئن شود همه ی دانش آموزان معادله ها را درست نوشته اند.

بعد از مرور پاسخ های 1 تا 8، دوباره معلم باید نقش توضیح دهنده را ایفا کند. به بخش های مختلف قانون کسینوس ها اشاره کنید. توضیح دهید رابطه ای که در پرسش 8 نوشته شده، تنها یکی از اشکال قانون کسینوس ها است؛ زیرا زوایا و اضلاع بسیاری را با جاگذاری متغیرهای مختلف در معادله می توان پیدا کرد. بعد از توضیح این مطالب، از دانش آموزان بخواهید تا بر روی پرسش 9 کار کنند و پاسخ های خود را با پاسخ های هم گروهی هایشان مقایسه کنند. پس از اتمام این کار، از آن ها بخواهید تا معادلاتی را که نوشته اند، تحویل دهند.

پس از این که دانش آموزان برگه ی فعالیت قانون کسینوس ها را تکمیل کردند، از آن ها بخواهید با استفاده از قانون کسینوس ها اندازه ی زاوایه و ضلع مجهول را در مثلث هایی که در ابتدای کلاس مورد بحث قرار گرفت، پیدا کنند. هنگامی که دانش آموزان از قانون کسینوس ها استفاده می کنند، دوباره معلم باید نقش دستیاری را ایفا کند. وقتی دانش آموزان مشغول یافتن مقادیر مجهولند، معلم باید به همه ی گروه ها سر بزند. (ممکن است دانش آموزان در ابتدا برای یافتن اندازه ی زاویه مشکلی داشته باشند. قبل از حل مسائل، معلم باید عملیات ریاضی مورد نیاز برای این مسائل را مرور کند.) پس از اتمام وقت و بعد از این که دانش آموزان در مورد جواب های خود با هم گورهی هایشان بحث کردند، از یکی از دانش آموزان بخواهید تا مسئله را پای تخته حل کند.

راه حل مسئله در بالا آورده شده و مقادیر ضلع و زاویه ی مجهول با رنگ سبز روی شکل نوشته شده است.

برای نتیجه گیری از درس، از دانش آموزان بخواهید تا روابط میان اضلاع و زوایا یا حالت های مثلثی که برای تعیین مقادیر ضلع یا زاویه باید از قانون کسینوس ها یا سینوس ها استفاده کرد، توضیح دهند.

[قانون سینوس ها: دو زاویه و یک ضلع (ز ز ض یا ز ض ز)؛ دو ضلع و زاویه ای که بین آن ها نیست (ض ض ز).

قانون کسینوس ها: سه ضلع (ض ض ض)؛ دو ضلع و زاویه ی بین آن ها (ض ز ض )]

س?الاتی برای دانش آموزان

مثلث ABC با مشخصات زیر داده شده است:

a = 4.15 cm , b = 7.65 cm , c = 6.85 cm  و  a = 7.27 cm , m

آیا با این مشخصات، تنها یک مثلث یکتا وجود دارد؟

[بله. حالت سه ضلع و دو ضلع و زاویه ی بین آن ها را می توان برای اثبات تساوی دو مثلث به کار برد. بنابراین، اگر سه ضلع یک مثلث یا دو ضلع و زاویه ی مجاور به یکی از آن ها معلوم باشند، مثلث یکتا است.]

چرا نمی توان از قانون سینوس ها برای تعیین اندازه ی زاویه یا ضلع مجهول در مثلثی با سه ضلع معلوم یا مثلثی که دو ضلع و زاویه ی بین آن دو ضلع معلوم است، استفاده کرد؟

[برای استفاده از قانون سینوس ها، باید حداقل اندازه ی یکی از زوایای مثلث معلوم باشد. بنابراین، قانون سینوس ها را نمی توان برای تعیین اندازه ی زوایای مجهول در مثلثی با سه ضلع معلوم به کار برد. علاوه بر این، برای استفاده از قانون سینوس ها باید اندازه ی یک زاویه و ضلع مقابل به آن معلوم باشد. بنابراین نمی توان از قانون سینوس ها برای تعیین زاویه و ضلع مجهول در مثلثی با ضلع و زاویه ی مجاور معلوم، استفاده کرد؛ زیرا اندازه ی ضلع مقابل به زاویه ی داده شده، معلوم نیست.]

برای این که بتوان از قانون سینوس ها در مثلث استفاده کرد، کدام یک از اضلاع یا زوایای آن باید معلوم باشند؟ برای یافتن اندازه ی ضلع یا زاوایه ی مجهول با استفاده از قانون کسینوس ها، چطور؟

[قانون سینوس ها: دو زاویه و یک ضلع (ز ز ض)، دو ضلع و زاویه ی غیر مجاور به آن دو ضلع (ض ض ز).

قانون کسینوس ها: سه ضلع (ض ض ض)، دو ضلع و زاویه ی بین آن ها (ض ز ض).]

ارزشیابی

1- مجموعه ای از مثلث های مختلف با زاویه ها و اضلاع معلوم تهیه کنید. از دانش آموزان بخواهید تا تعیین کنند در کدام یک برای تعیین زاویه یا ضلع مجهول می توان از قضیه ی سینوس ها و در کدام یک، از قضیه ی کسینوس ها استفاده کرد؟

2- از دانش آموزان بخواهید اندازه ی ضلع یا زوایه ی مجهول مثلث های س?ال 1 را پیدا کنند.

توسعه

1- پرسش های زیر را مطرح کنید: چرا نمی توان قانون سینوس ها یا کسینوس ها را برای تعیین اندازه ی ضلع مجهول، در حالتی که هر سه زاویه معلوم اند، به کار برد؟

[چون بی نهایت مثلث در این حالت که هر سه زاویه مشخص اند، وجود دارد. چنین مثلث هایی متشابه نامیده می شوند.]

2- یک مثلث قائم الزاویه رسم کنید. اندازه ی هر دو ضلع آن را نیز به دانش آموزان بدهید. از آن ها بخواهید با استفاده از قضیه ی فیثاغورث، اندازه ی وتر این مثلث را بیابند. سپس از آن ها بخواهید این بار اندازه ی وتر را با استفاده از قانون کسینوس ها بیایند و نتیجه ی حاصل از قضیه ی فیثاغورث را با نتیجه ی حاصل از قانون کسینوس ها مقایسه کنند.

[قضیه ی فیثاغورث را می توان حالت ویژه ای از قانون کسینوس ها دانست. از آن جا که cos 90? =0 است، قانون کسینوس ها در مثلث قائم الزاویه به این شکل در می آید: ]     

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

عکس العمل دانش آموزان به نقش های مختلفی که هنگام تدریس ایفا می کردید، چه بود؟

چه روش هایی پیشنهاد می کنید تا دانش آموزان به طور فعال در این درس شرکت کنند؟

آیا به نظر شما باید در شیوه ی ارائه ی این درس، تغییراتی انجام شود؟ اگر پاسختان مثبت است چه تغییراتی و در چه قسمتی مؤثرتر است؟

چه کارهایی با توجه به مدیریت رفتار در کلاس انجام شد؟ چه کارهایی انجام نشد؟ چگونه می توان کارهایی را که انجام نشد، تغییر داد؟

مترجم: راضیه کریمی